ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 54 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(|x| < 7\);

2) \(|x — 1| \leq 3,8\);

3) \(|7x — 5| \leq 8\);

4) \(|5 — 4x| < 6\).

1) \(|x| < 7\)
Решение: \(-7 < x < 7\)
Ответ: \(x \in (-7; 7)\)

2) \(|x — 1| \leq 3,8\)
Решение: \(-3,8 \leq x — 1 \leq 3,8\), значит \(-2,8 \leq x \leq 4,8\)
Ответ: \(x \in [-2,8; 4,8]\)

3) \(|7x — 5| \leq 3\)
Решение: \(-3 \leq 7x — 5 \leq 3\), значит \(2 \leq 7x \leq 8\), то есть \(\frac{2}{7} \leq x \leq \frac{8}{7}\)
Ответ: \(x \in \left[\frac{2}{7}; \frac{8}{7}\right]\)

4) \(|5 — 4x| < 6\)
Решение: \(-6 < 5 — 4x < 6\), значит \(-1 < 4x < 11\), то есть \(-0,25 < x < 2,75\)
Ответ: \(x \in (-0,25; 2,75)\)

1) Для решения неравенства \(|x| < 7\) нужно помнить, что модуль числа выражает расстояние от нуля, поэтому \(|x| < 7\) означает, что \(x\) лежит между \(-7\) и \(7\), то есть выполняется двойное неравенство: \(-7 < x < 7\). Это значит, что все значения \(x\), которые по модулю меньше 7, удовлетворяют условию. Таким образом, решение записывается как интервал: \(x \in (-7; 7)\).

2) Неравенство \(|x — 1| \leq 3{,}8\) решается аналогично: модуль выражения меньше либо равен 3,8, значит, выражение внутри модуля лежит между \(-3{,}8\) и \(3{,}8\). Получаем двойное неравенство: \(-3{,}8 \leq x — 1 \leq 3{,}8\). Прибавляем 1 ко всем частям неравенства, чтобы выразить \(x\): \(-3{,}8 + 1 \leq x \leq 3{,}8 + 1\), что даёт \(-2{,}8 \leq x \leq 4{,}8\). Таким образом, все значения \(x\) из отрезка от \(-2{,}8\) до \(4{,}8\) являются решением: \(x \in [-2{,}8; 4{,}8]\).

3) В неравенстве \(|7x — 5| \leq 3\) необходимо раскрыть модуль: \(-3 \leq 7x — 5 \leq 3\). Прибавим 5 ко всем частям, чтобы избавиться от свободного члена: \(-3 + 5 \leq 7x \leq 3 + 5\), то есть \(2 \leq 7x \leq 8\). Теперь разделим все части на 7, чтобы получить неравенство относительно \(x\): \(\frac{2}{7} \leq x \leq \frac{8}{7}\). Это значит, что все значения \(x\) из промежутка от \(\frac{2}{7}\) до \(\frac{8}{7}\) являются решением данного неравенства: \(x \in \left(\frac{2}{7}; \frac{8}{7}\right)\).

4) В неравенстве \(|5 — 4x| < 6\) раскрываем модуль, получая двойное неравенство: \(-6 < 5 — 4x < 6\). Теперь выразим \(x\): сначала вычтем 5 из всех частей: \(-6 — 5 < -4x < 6 — 5\), получаем \(-11 < -4x < 1\). Далее разделим все части на \(-4\), при этом знак неравенства меняется на противоположный: \(\frac{-11}{-4} > x > \frac{1}{-4}\), то есть \(2{,}75 > x > -0{,}25\). Перепишем в стандартном виде: \(-0{,}25 < x < 2{,}75\). Решением является интервал: \(x \in (-0{,}25; 2{,}75)\).