ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 55 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(|x| > 9\);

2) \(|x — 4| \geq 3,2\);

3) \(|0,4x + 3| \geq 2\);

4) \(|7 — 8x| > 9\).

1. Пусть \(|x| > 9\). По определению модуля, это значит: либо \(x > 9\), либо \(x < -9\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -9) \cup (9; +\infty)\)

2. Пусть \(|x — 4| \geq 3{,}2\). Это значит: либо \(x — 4 \geq 3{,}2\), либо \(x — 4 \leq -3{,}2\).
Первое: \(x — 4 \geq 3{,}2\), значит \(x \geq 7{,}2\).
Второе: \(x — 4 \leq -3{,}2\), значит \(x \leq 0{,}8\).
Ответ: \(x \in (-\infty; 0{,}8] \cup [7{,}2; +\infty)\)

3. Пусть \(|0{,}4x + 3| \geq 2\). Это значит: либо \(0{,}4x + 3 \geq 2\), либо \(0{,}4x + 3 \leq -2\).
Первое: \(0{,}4x + 3 \geq 2\), значит \(0{,}4x \geq -1\), то есть \(x \geq -2{,}5\).
Второе: \(0{,}4x + 3 \leq -2\), значит \(0{,}4x \leq -5\), то есть \(x \leq -12{,}5\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -12{,}5] \cup [-2{,}5; +\infty)\)

4. Пусть \(|7 — 8x| > 9\). Это значит: либо \(7 — 8x > 9\), либо \(7 — 8x < -9\).
Первое: \(7 — 8x > 9\), значит \(-8x > 2\), то есть \(x < -\frac{1}{4}\).
Второе: \(7 — 8x < -9\), значит \(-8x < -16\), то есть \(x > 2\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -0{,}25) \cup (2; +\infty)\)

Рассмотрим первое неравенство: \(|x| < 3\). Модуль числа \(x\) по определению — это расстояние от точки \(x\) до нуля на числовой оси, и всегда неотрицательно. Неравенство \(|x| < 3\) означает, что расстояние от точки \(x\) до нуля меньше трёх. Вспомним, что по определению: если \(|x| < a\), где \(a > 0\), то это равносильно двойному неравенству \(-a < x < a\). В нашем случае \(a = 3\), значит, мы получаем: \(-3 < x < 3\). Таким образом, все значения \(x\), находящиеся строго между \(-3\) и \(3\), удовлетворяют исходному неравенству.

Важно отметить, что знак неравенства строгий, то есть \(x\) не может быть равен ни \(-3\), ни \(3\). Если бы неравенство было нестрогим, то границы включались бы в решение. В данном случае множество решений — это открытый интервал: \(x \in (-3; 3)\). Это значит, что любое число, которое больше \(-3\), но меньше \(3\), является решением. Например, числа \(0\), \(2.5\), \(-2.9\) — все они подходят, а числа \(-3\) или \(3\) — нет.

Второе неравенство: \(|x — 1| \leq 4{,}2\). Здесь выражение под модулем — это разность \(x — 1\), а модуль этой разности должен быть не больше \(4{,}2\). По определению модуля: если \(|A| \leq a\), то \(-a \leq A \leq a\). Применяем это к нашему случаю, где \(A = x — 1\), \(a = 4{,}2\): \(-4{,}2 \leq x — 1 \leq 4{,}2\). Теперь необходимо выразить \(x\) через элементарные преобразования. Прибавим 1 ко всем трём частям неравенства, чтобы избавиться от слагаемого \(-1\): \(-4{,}2 + 1 \leq x — 1 + 1 \leq 4{,}2 + 1\), что даёт \(-3{,}2 \leq x \leq 5{,}2\).

В результате получаем, что \(x\) может принимать любые значения из отрезка \([-3{,}2; 5{,}2]\), включая сами границы. Это означает, что если \(x = -3{,}2\) или \(x = 5{,}2\), то модуль разности \(|x — 1|\) будет равен \(4{,}2\), а для всех промежуточных значений он будет меньше либо равен \(4{,}2\). Множество решений — это замкнутый (или включающий границы) отрезок: \(x \in [-3{,}2; 5{,}2]\).

Переходим к третьему неравенству: \(|7x + 8| \leq 2\). Здесь под модулем стоит линейное выражение \(7x + 8\). По определению модуля: если \(|A| \leq a\), то \(-a \leq A \leq a\). Подставляем наши значения: \(-2 \leq 7x + 8 \leq 2\). Теперь нужно выразить \(x\). Для этого вычтем 8 из всех частей неравенства: \(-2 — 8 \leq 7x + 8 — 8 \leq 2 — 8\), получаем \(-10 \leq 7x \leq -6\). Теперь разделим все части неравенства на 7, чтобы получить \(x\): \(-\frac{10}{7} \leq x \leq -\frac{6}{7}\).

Это решение представляет собой отрезок на числовой оси между \(-\frac{10}{7}\) и \(-\frac{6}{7}\) включительно. То есть, любое значение \(x\), находящееся в этом диапазоне, удовлетворяет исходному неравенству. Например, если \(x = -1\), то \(7x + 8 = 7 \cdot (-1) + 8 = -7 + 8 = 1\), а \(|1| = 1 \leq 2\), то есть условие выполняется. Если взять значения на границах, например \(x = -\frac{10}{7}\), то \(7x + 8 = -10 + 8 = -2\), а \(|-2| = 2\), то есть условие также выполняется.

Теперь рассмотрим четвёртое неравенство: \(|10 — 3x| < 5\). Здесь выражение под модулем — это \(10 — 3x\), и его модуль должен быть строго меньше 5. По определению модуля: если \(|A| < a\), то \(-a < A < a\). Подставляем наши значения: \(-5 < 10 — 3x < 5\). Далее необходимо выразить \(x\). Для этого вычтем 10 из всех частей неравенства: \(-5 — 10 < 10 — 3x — 10 < 5 — 10\), получаем \(-15 < -3x < -5\).

Теперь нужно избавиться от коэффициента \(-3\) перед \(x\). Для этого разделим все части неравенства на \(-3\). Напомним, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Получаем: \(\frac{-15}{-3} > x > \frac{-5}{-3}\), что эквивалентно \(5 > x > \frac{5}{3}\). Приведём результат к стандартному виду: \(\frac{5}{3} < x < 5\).

Таким образом, решением данного неравенства является открытый интервал: \(x \in \left( \frac{5}{3}; 5 \right)\). Это значит, что все значения \(x\), которые больше \(\frac{5}{3}\), но меньше \(5\), удовлетворяют исходному неравенству. К примеру, если \(x = 2\), то \(10 — 3 \cdot 2 = 10 — 6 = 4\), \(|4| = 4 < 5\), условие выполняется. Если \(x\) равно границе интервала, например \(x = 5\), то \(10 — 3 \cdot 5 = 10 — 15 = -5\), \(|-5| = 5\), но так как неравенство строгое, границы не включаются.