ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 56 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \([x] + [x — 3] = 4\);

2) \(|x — 2| + |x + 3| = 5\);

3) \(|x| — |x — 3| = 4\);

4) \(|2x — 6| — |x + 4| = 4x + 10\).

1) Если \(x \geq 3\), то \(x + (x — 3) = 4\), \(2x — 3 = 4\), \(2x = 7\), \(x = 3{,}5\).
Если \(0 \leq x < 3\), то \(x + (3 — x) = 4\), \(3 = 4\), решений нет.
Если \(x < 0\), то \(-x — (x — 3) = 4\), \(-2x + 3 = 4\), \(-2x = 1\), \(x = -0{,}5\).
Ответ: \(-0{,}5;\ 3{,}5\)

2) Если \(x \geq 2\), то \((x — 2) + (x + 3) = 5\), \(2x + 1 = 5\), \(2x = 4\), \(x = 2\).
Если \(-3 \leq x < 2\), то \((2 — x) + (x + 3) = 5\), \(5 = 5\), \(x \in [-3;\ 2)\).
Если \(x < -3\), то \((2 — x) + (-x — 3) = 5\), \(2 — x — x — 3 = 5\), \(-2x — 1 = 5\), \(-2x = 6\), \(x = -3\).
Ответ: \(x \in [-3;\ 2]\)

3) Если \(x \geq 3\), то \(x — (x — 3) = 4\), \(3 = 4\), решений нет.
Если \(0 \leq x < 3\), то \(x — (3 — x) = 4\), \(2x — 3 = 4\), \(2x = 7\), \(x = 3{,}5\), но \(x < 3\), значит решений нет.
Если \(x < 0\), то \(-x — (-x + 3) = 4\), \(-x + x — 3 = 4\), \(-3 = 4\), решений нет.
Ответ: \(\emptyset\)

4) Если \(x \geq 3\), то \((2x — 6) — (x + 4) = 4x + 10\), \(x — 10 = 4x + 10\), \(-3x = 20\), \(x = -\frac{20}{3}\), не подходит.
Если \(-4 \leq x < 3\), то \(-(2x — 6) — (x + 4) = 4x + 10\), \(-2x + 6 — x — 4 = 4x + 10\), \(-3x + 2 = 4x + 10\), \(-7x = 8\), \(x = -\frac{8}{7}\).
Если \(x < -4\), то \(-(2x — 6) — (-(x + 4)) = 4x + 10\), \(-2x + 6 + x + 4 = 4x + 10\), \(-x + 10 = 4x + 10\), \(-5x = 0\), \(x = 0\), не подходит.
Ответ: \(-\frac{8}{7}\)

1) Пусть \(x \geq 3\). Тогда модуль раскрывается так: \(|x| = x\) и \(|x — 3| = x — 3\). Получаем уравнение: \(x + (x — 3) = 4\). Сложим: \(2x — 3 = 4\). Добавим 3 к обеим частям: \(2x = 7\). Разделим обе части на 2: \(x = 3{,}5\). Проверим условие: \(x = 3{,}5 \geq 3\), подходит.

Пусть \(0 \leq x < 3\). Тогда \(|x| = x\), \(|x — 3| = 3 — x\). Подставим в уравнение: \(x + (3 — x) = 4\). Получаем: \(3 = 4\), это неверно, решений нет.

Пусть \(x < 0\). Тогда \(|x| = -x\), \(|x — 3| = -(x — 3) = -x + 3\). Подставим: \(-x + (-x + 3) = 4\). Получаем: \(-2x + 3 = 4\). Вычтем 3: \(-2x = 1\). Разделим на -2: \(x = -0{,}5\). Проверим: \(-0{,}5 < 0\), подходит.

Ответ: \(-0{,}5;\ 3{,}5\)

2) Пусть \(x \geq 2\). Тогда \(|x — 2| = x — 2\), \(|x + 3| = x + 3\). Получаем: \((x — 2) + (x + 3) = 5\). Складываем: \(2x + 1 = 5\). Вычтем 1: \(2x = 4\). Разделим на 2: \(x = 2\). Проверим: \(x = 2 \geq 2\), подходит.

Пусть \(-3 \leq x < 2\). Тогда \(|x — 2| = 2 — x\), \(|x + 3| = x + 3\). Подставим: \((2 — x) + (x + 3) = 5\). Получаем: \(2 — x + x + 3 = 5\), \(5 = 5\). Это верно для любого \(x\) из промежутка \([-3;\ 2)\).

Пусть \(x < -3\). Тогда \(|x — 2| = 2 — x\), \(|x + 3| = -(x + 3) = -x — 3\). Подставим: \((2 — x) + (-x — 3) = 5\). Получаем: \(2 — x — x — 3 = 5\), \(-2x — 1 = 5\). Прибавим 1: \(-2x = 6\). Разделим на -2: \(x = -3\). Проверим: \(x = -3 < -3\) неверно, но точка \(-3\) входит в промежуток \([-3;\ 2]\).

Ответ: \(x \in [-3;\ 2]\)

3) Пусть \(x \geq 3\). Тогда \(|x| = x\), \(|x — 3| = x — 3\). Подставим: \(x — (x — 3) = 4\). Получаем: \(x — x + 3 = 4\), \(3 = 4\), решений нет.

Пусть \(0 \leq x < 3\). Тогда \(|x| = x\), \(|x — 3| = 3 — x\). Подставим: \(x — (3 — x) = 4\). Получаем: \(x — 3 + x = 4\), \(2x — 3 = 4\). Прибавим 3: \(2x = 7\). Разделим на 2: \(x = 3{,}5\), но \(x < 3\), значит не подходит.

Пусть \(x < 0\). Тогда \(|x| = -x\), \(|x — 3| = -(x — 3) = -x + 3\). Подставим: \(-x — (-x + 3) = 4\). Получаем: \(-x + x — 3 = 4\), \(-3 = 4\), решений нет.

Ответ: \(\emptyset\)

4) Пусть \(x \geq 3\). Тогда \(|2x — 6| = 2x — 6\), \(|x + 4| = x + 4\). Подставим: \((2x — 6) — (x + 4) = 4x + 10\). Получаем: \(2x — 6 — x — 4 = 4x + 10\), \(x — 10 = 4x + 10\). Перенесём \(4x\): \(x — 4x = 10 + 10\), \(-3x = 20\). Разделим на -3: \(x = -\frac{20}{3}\), но \(-\frac{20}{3} < 3\), не подходит.

Пусть \(-4 \leq x < 3\). Тогда \(|2x — 6| = -(2x — 6) = -2x + 6\), \(|x + 4| = x + 4\). Подставим: \(-2x + 6 — (x + 4) = 4x + 10\). Получаем: \(-2x + 6 — x — 4 = 4x + 10\), \(-3x + 2 = 4x + 10\). Переносим \(4x\): \(-3x — 4x = 10 — 2\), \(-7x = 8\). Разделим на -7: \(x = -\frac{8}{7}\). Проверим: \(-4 \leq -\frac{8}{7} < 3\), подходит.

Пусть \(x < -4\). Тогда \(|2x — 6| = -(2x — 6) = -2x + 6\), \(|x + 4| = -(x + 4) = -x — 4\). Подставим: \(-2x + 6 — (-x — 4) = 4x + 10\). Получаем: \(-2x + 6 + x + 4 = 4x + 10\), \(-x + 10 = 4x + 10\). Переносим \(4x\): \(-x — 4x = 10 — 10\), \(-5x = 0\), \(x = 0\), но \(0 > -4\), не подходит.

Ответ: \(-\frac{8}{7}\)