ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 57 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(|x + 3| + 4x \geq 6\);

2) \(|x — 4| — 5x < 12\);

3) \(|x + 3| + |x — 3| \leq 6\);

4) \(|x + 2| + |x — 3| > 4\);

5) \(|x + 2,2| — |x — 1,8| \leq 2\);

6) \(|3x + 16| — |2x — 14| > 8\).

\(x \in [0{,}6; +\infty)\)

\(x \in \left(-1{,}\frac{1}{3}; +\infty\right)\)

\(x \in [-3; 3]\)

\(x \in (-\infty; +\infty)\)

\(x \in (-\infty; 0{,}8]\)

\(x \in (-\infty; -38) \cup (1{,}2; +\infty)\)

1. Пусть \(x + 3 \geq 0\), тогда \(|x + 3| = x + 3\). Получаем \(x + 3 + 4x \geq 6\), то есть \(5x + 3 \geq 6\), отсюда \(5x \geq 3\), значит \(x \geq 0{,}6\).
Пусть \(x + 3 < 0\), тогда \(|x + 3| = -x — 3\). Получаем \(-x — 3 + 4x \geq 6\), то есть \(3x — 3 \geq 6\), отсюда \(3x \geq 9\), значит \(x \geq 3\). Но по условию \(x < -3\), поэтому решений нет.
Ответ: \(x \in [0{,}6; +\infty)\)

2. Пусть \(x — 4 \geq 0\), тогда \(|x — 4| = x — 4\). Получаем \(x — 4 — 5x < 12\), то есть \(-4x — 4 < 12\), отсюда \(-4x < 16\), значит \(x > -4\). Учитываем условие \(x \geq 4\), получаем \(x \in [4; +\infty)\).
Пусть \(x — 4 < 0\), тогда \(|x — 4| = -x + 4\). Получаем \(-x + 4 — 5x < 12\), то есть \(-6x + 4 < 12\), отсюда \(-6x < 8\), значит \(x > -1{,}\frac{1}{3}\). Учитываем условие \(x < 4\), получаем \(x \in (-1{,}\frac{1}{3}; 4)\).
Объединяем: \(x \in (-1{,}\frac{1}{3}; +\infty)\)

3. Пусть \(x \geq 3\), тогда \(|x + 3| = x + 3\), \(|x — 3| = x — 3\). Получаем \(x + 3 + x — 3 \leq 6\), то есть \(2x \leq 6\), отсюда \(x \leq 3\). Условие \(x \geq 3\), значит \(x = 3\).
Пусть \(-3 \leq x < 3\), тогда \(|x + 3| = x + 3\), \(|x — 3| = -x + 3\). Получаем \(x + 3 — x + 3 \leq 6\), то есть \(6 \leq 6\), всегда выполняется.
Пусть \(x < -3\), тогда \(|x + 3| = -x — 3\), \(|x — 3| = -x + 3\). Получаем \(-x — 3 — x + 3 \leq 6\), то есть \(-2x \leq 6\), отсюда \(x \geq -3\). Но по условию \(x < -3\), решений нет.
Ответ: \(x \in [-3; 3]\)

4. Пусть \(x \geq 3\), тогда \(|x + 2| = x + 2\), \(|x — 3| = x — 3\). Получаем \(x + 2 + x — 3 > 4\), то есть \(2x — 1 > 4\), отсюда \(2x > 5\), значит \(x > 2{,}5\). Условие \(x \geq 3\), значит \(x \in [3; +\infty)\).
Пусть \(-2 \leq x < 3\), тогда \(|x + 2| = x + 2\), \(|x — 3| = -x + 3\). Получаем \(x + 2 — x + 3 > 4\), то есть \(5 > 4\), всегда выполняется. Значит \(x \in [-2; 3)\).
Пусть \(x < -2\), тогда \(|x + 2| = -x — 2\), \(|x — 3| = -x + 3\). Получаем \(-x — 2 — x + 3 > 4\), то есть \(-2x + 1 > 4\), отсюда \(-2x > 3\), значит \(x < -1{,}5\). Условие \(x < -2\), значит \(x \in (-\infty; -2)\).
Все промежутки покрывают всю числовую ось: \(x \in (-\infty; +\infty)\)

5. Пусть \(x \geq 1{,}8\), тогда \(|x + 2{,}2| = x + 2{,}2\), \(|x — 1{,}8| = x — 1{,}8\). Получаем \(x + 2{,}2 — x + 1{,}8 \leq 2\), то есть \(4 \leq 2\), неверно, решений нет.
Пусть \(-2{,}2 \leq x < 1{,}8\), тогда \(|x + 2{,}2| = x + 2{,}2\), \(|x — 1{,}8| = -x + 1{,}8\). Получаем \(x + 2{,}2 + x — 1{,}8 \leq 2\), то есть \(2x + 0{,}4 \leq 2\), отсюда \(2x \leq 1{,}6\), значит \(x \leq 0{,}8\).
Пусть \(x < -2{,}2\), тогда \(|x + 2{,}2| = -x — 2{,}2\), \(|x — 1{,}8| = -x + 1{,}8\). Получаем \(-x — 2{,}2 + x — 1{,}8 \leq 2\), то есть \(-2{,}2 — 1{,}8 \leq 2\), то есть \(-4 \leq 2\), всегда верно. Значит \(x \in (-\infty; -2{,}2)\).
Объединяем: \(x \in (-\infty; 0{,}8]\)

6. Пусть \(x \geq 7\), тогда \(|3x + 16| = 3x + 16\), \(|2x — 14| = 2x — 14\). Получаем \(3x + 16 — 2x + 14 > 8\), то есть \(x + 30 > 8\), отсюда \(x > -22\). Условие \(x \geq 7\), значит \(x \in [7; +\infty)\).
Пусть \(-5{,}\frac{1}{3} \leq x < 7\), тогда \(|3x + 16| = 3x + 16\), \(|2x — 14| = -2x + 14\). Получаем \(3x + 16 + 2x — 14 > 8\), то есть \(5x + 2 > 8\), отсюда \(5x > 6\), значит \(x > 1{,}2\). Условие \(x < 7\), значит \(x \in (1{,}2; 7)\).
Пусть \(x < -5{,}\frac{1}{3}\), тогда \(|3x + 16| = -3x — 16\), \(|2x — 14| = -2x + 14\). Получаем \(-3x — 16 + 2x — 14 > 8\), то есть \(-x — 30 > 8\), отсюда \(-x > 38\), значит \(x < -38\).
Объединяем: \(x \in (-\infty; -38) \cup (1{,}2; +\infty)\)