ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 59 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) корни уравнения \(x^2 — (3a + 2)x + 80 — 4a^2 = 0\) больше числа \(-77\).

1. Запишем уравнение:
\(x^{2}-(3a+2)x+8a-4a^{2}=0\)

2. Найдём корни по формуле:
\(x_{1,2} = \frac{(3a+2) \pm (5a-2)}{2}\)

3. Находим первый корень:
\(x_{1} = \frac{(3a+2)-(5a-2)}{2} = \frac{3a+2-5a+2}{2} = \frac{-2a+4}{2} = 2-a\)

4. Находим второй корень:
\(x_{2} = \frac{(3a+2)+(5a-2)}{2} = \frac{3a+2+5a-2}{2} = \frac{8a}{2} = 4a\)

5. Требуется, чтобы оба корня были больше числа \(-7\):
\(2-a > -7\)
\(4a > -7\)

6. Решаем первое неравенство:
\(2-a > -7\)
\(2+7 > a\)
\(9 > a\)
\(a < 9\)

7. Решаем второе неравенство:
\(4a > -7\)
\(a > -\frac{7}{4}\)

8. Запишем ответ:
\(-\frac{7}{4} < a < 9\)

Рассмотрим квадратное уравнение \(x^{2}-(3a+2)x+8a-4a^{2}=0\). Его коэффициенты зависят от параметра \(a\), что влияет на расположение корней. Для поиска корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: если уравнение имеет вид \(x^{2}+px+q=0\), то корни находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^{2}-4q}}{2}\). В нашем случае коэффициенты выражены через \(a\): \(p = -(3a+2)\), \(q = 8a-4a^{2}\). Подставляя их в формулу, получаем: \(x_{1,2} = \frac{3a+2 \pm (5a-2)}{2}\). Здесь выражение под знаком корня уже вычислено и равно \(5a-2\), что существенно упрощает вычисления.

Переходим к подробному нахождению каждого корня. Первый корень вычисляется как \(x_{1} = \frac{(3a+2)-(5a-2)}{2}\). Раскроем скобки: \(3a+2-5a+2 = -2a+4\), тогда \(x_{1} = \frac{-2a+4}{2} = 2-a\). Второй корень находится аналогично: \(x_{2} = \frac{(3a+2)+(5a-2)}{2}\). Складываем: \(3a+2+5a-2 = 8a\), значит \(x_{2} = \frac{8a}{2} = 4a\). Таким образом, корни уравнения выражаются через параметр \(a\) как \(2-a\) и \(4a\). Теперь требуется, чтобы оба корня были больше числа \(-7\), то есть \(2-a > -7\) и \(4a > -7\).

Рассмотрим решение каждого неравенства отдельно. Первое неравенство: \(2-a > -7\). Переносим все члены, содержащие \(a\), в одну сторону: \(2+7 > a\), то есть \(9 > a\) или \(a < 9\). Второе неравенство: \(4a > -7\), делим обе стороны на 4, получаем \(a > -\frac{7}{4}\). Таким образом, для выполнения условия задачи параметр \(a\) должен удовлетворять обоим неравенствам одновременно. Итоговое решение записываем в виде двойного неравенства: \(-\frac{7}{4} < a < 9\). Это промежуток значений параметра \(a\), при котором оба корня данного квадратного уравнения будут строго больше \(-7\).