ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 6 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что:

1) \((x+1)(y+1)\geq 4\), если \(x>0\), \(y>0\);

2) \((x+1)(y+2)(z+8)\geq 82xyz\), если \(x\geq 0\), \(y\geq 0\), \(z\geq 0\).

1)
\( (x+\frac{1}{y}) (y+\frac{1}{x}) \geq 4 \), если \( x>0 \) и \( y>0 \)

\( (x+\frac{1}{y}) (y+\frac{1}{x}) — 4 = \frac{xy+1}{y} \cdot \frac{xy+1}{x} — 4 = \frac{(xy+1)^2}{xy} — 4 = \frac{(xy+1)^2-4xy}{xy} =\)
\(= \frac{(xy-1)^2}{xy} \geq 0 \), так как \( xy > 0 \).

Что и требовалось доказать.

2)
\( (x+1)(y+2)(z+8) \geq 32\sqrt{xyz} \), если \( x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0 \)

Выведем неравенства:
\( x+1-2\sqrt{x} = (\sqrt{x}-1)^2 \geq 0 \Rightarrow x+1 \geq 2\sqrt{x} \)
\( y+2-2\sqrt{2y} = (\sqrt{y}-\sqrt{2})^2 \geq 0 \Rightarrow y+2 \geq 2\sqrt{2y} \)
\( z+8-2\sqrt{8z} = (\sqrt{z}-\sqrt{8})^2 \geq 0 \Rightarrow z+8 \geq 2\sqrt{8z} \)

Так как все числа неотрицательны:
\( (x+1)(y+2)(z+8) \geq 2\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{2y} \cdot 2\sqrt{8z} = 8\sqrt{16xyz} = 32\sqrt{xyz} \)

Что и требовалось доказать.

1)
Рассмотрим выражение \( (x+\frac{1}{y})(y+\frac{1}{x}) \) при \( x>0 \) и \( y>0 \).

Раскроем скобки:
\( (x+\frac{1}{y})(y+\frac{1}{x}) = x y + x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \cdot y + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} \)

Упростим:
\( x y + 1 + 1 + \frac{1}{x y} = x y + 2 + \frac{1}{x y} \)

Преобразуем выражение \( x y + 2 + \frac{1}{x y} \):

Запишем в виде одной дроби:
\( x y + 2 + \frac{1}{x y} = \frac{x^{2} y^{2} + 2 x y + 1}{x y} \)

Заметим, что числитель — это полный квадрат:
\( x^{2} y^{2} + 2 x y + 1 = (x y + 1)^{2} \)

Значит,
\( (x+\frac{1}{y})(y+\frac{1}{x}) = \frac{(x y + 1)^{2}}{x y} \)

Докажем, что \( \frac{(x y + 1)^{2}}{x y} \geq 4 \):

Переносим 4 влево:
\( \frac{(x y + 1)^{2}}{x y} — 4 = \frac{(x y + 1)^{2} — 4 x y}{x y} \)

Раскрываем скобки:
\( (x y + 1)^{2} — 4 x y = x^{2} y^{2} + 2 x y + 1 — 4 x y = x^{2} y^{2} — 2 x y + 1 \)

Это тоже полный квадрат:
\( x^{2} y^{2} — 2 x y + 1 = (x y — 1)^{2} \)

Получаем:
\( \frac{(x y — 1)^{2}}{x y} \geq 0 \)

Так как \( x>0 \) и \( y>0 \), знаменатель положителен, а числитель неотрицателен.

Следовательно, неравенство верно.

2)
Рассмотрим выражение \( (x+1)(y+2)(z+8) \) при \( x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0 \).

Докажем, что \( (x+1)(y+2)(z+8) \geq 32 \sqrt{ x y z } \).

Рассмотрим каждую скобку отдельно.

Докажем, что \( x+1 \geq 2 \sqrt{ x } \):

\( x+1 — 2 \sqrt{ x } = (\sqrt{ x } — 1)^{2} \geq 0 \)

Аналогично, докажем, что \( y+2 \geq 2 \sqrt{ 2 y } \):

\( y+2 — 2 \sqrt{ 2 y } = (\sqrt{ y } — \sqrt{ 2 })^{2} \geq 0 \)

Также, \( z+8 \geq 2 \sqrt{ 8 z } \):

\( z+8 — 2 \sqrt{ 8 z } = (\sqrt{ z } — \sqrt{ 8 })^{2} \geq 0 \)

Перемножим полученные неравенства:

\( (x+1)(y+2)(z+8) \geq 2 \sqrt{ x } \cdot 2 \sqrt{ 2 y } \cdot 2 \sqrt{ 8 z } \)

Перемножим коэффициенты:
\( 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)

Перемножим корни:
\( \sqrt{ x } \cdot \sqrt{ 2 y } \cdot \sqrt{ 8 z } = \sqrt{ x \cdot 2 y \cdot 8 z } = \sqrt{ 16 x y z } \)

Итак,
\( (x+1)(y+2)(z+8) \geq 8 \sqrt{ 16 x y z } \)

Вынесем множитель из-под корня:
\( \sqrt{ 16 x y z } = 4 \sqrt{ x y z } \)

Получаем:
\( (x+1)(y+2)(z+8) \geq 8 \cdot 4 \sqrt{ x y z } = 32 \sqrt{ x y z } \)

Что и требовалось доказать.