ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 61 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) один из корней уравнения \(2x^2 — (3a + 5)x + 2a — 3 = 0\) меньше \(3\), а другой — больше \(5\)?

Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{2a-2}{4} = 0{,}5a — 0{,}5\)
\(x_2 = \frac{4a+12}{4} = a+3\)

\(0{,}5a — 0{,}5 < 3\)
\(a+3 > 5\)

\(0{,}5a < 3{,}5\)
\(a > 2\)

\(a < 7\)
\(a > 2\)

\(2 < a < 7\)

1. Запишем уравнение: \(2x^2 — (3a + 5)x + a^2 + 2a — 3 = 0\).

2. Найдём дискриминант: \(D = (3a + 5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 + 2a — 3)\).

3. Раскроем скобки: \(D = 9a^2 + 30a + 25 — 8a^2 — 16a + 24\).

4. Упростим: \(D = a^2 + 14a + 49\).

5. Найдём корни по формуле:
\(x_1 = \frac{-( — (3a + 5)) — \sqrt{D}}{2 \cdot 2}\)
\(x_2 = \frac{-( — (3a + 5)) + \sqrt{D}}{2 \cdot 2}\).

6. Подставим значения:
\(x_1 = \frac{3a + 5 — (a + 7)}{4} = \frac{2a — 2}{4} = 0{,}5a — 0{,}5\)
\(x_2 = \frac{3a + 5 + (a + 7)}{4} = \frac{4a + 12}{4} = a + 3\).

7. По условию один корень меньше 3, другой больше 5:
\(0{,}5a — 0{,}5 < 3\)
\(a + 3 > 5\).

8. Решим первое неравенство:
\(0{,}5a < 3{,}5\)
\(a < 7\).

9. Решим второе неравенство:
\(a > 2\).

10. Ответ:
\(2 < a < 7\)