ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 68 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

1) \(f(x) = \sqrt{x + 3}\);

2) \(f(x) = \sqrt{x — 1}\);

3) \(f(x) = 2 — x^2\);

4) \(f(x) = x^2 + 3\);

5) \(f(x) = |x| + 1\);

6) \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1 — 3}\);

7) \(f(x) = \sqrt{-|x|}\);

8) \(f(x) = \sqrt{x — 1} + \sqrt{1 — x}\).

1) \(f(x) = \sqrt{x} + 3\).
\(\sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow x \geq 0\).
Значения \(f(x)\) начинаются с 3:
Ответ: \(E(f) = [3; +\infty)\).

2) \(f(x) = \sqrt{x} — 1\).
\(\sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow x \geq 0\).
Минимальное значение \(f(x)\) при \(x=0\) равно -1:
Ответ: \(E(f) = [-1; +\infty)\).

3) \(f(x) = 2 — x^2\).
\(x^2 \geq 0\), значит \(2 — x^2 \leq 2\).
Ответ: \(E(f) = (-\infty; 2]\).

4) \(f(x) = x^2 + 3\).
\(x^2 \geq 0\), значит \(f(x) \geq 3\):
Ответ: \(E(f) = [3; +\infty)\).

5) \(f(x) = |x| + 1\).
\(|x| \geq 0\), значит \(f(x) \geq 1\):
Ответ: \(E(f) = [1; +\infty)\).

6) \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1 — 3}\).
\(x^2 + 1 — 3 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 2\).
Минимальное значение под корнем \(-2\), но корень определён только при \(x^2 \geq 2\):
Ответ: \(E(h) = [0; +\infty)\).

7) \(f(x) = \sqrt{-|x|}\).
\(-|x| \geq 0 \Rightarrow |x| = 0 \Rightarrow x = 0\).
Тогда \(f(0) = 0\):
Ответ: \(E(f) = \{0\}\).

8) \(f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{1-x}\).
\(\sqrt{x-1}\) определена при \(x \geq 1\), \(\sqrt{1-x}\) при \(x \leq 1\), значит \(x = 1\).
\(f(1) = \sqrt{0} + \sqrt{0} = 0\):
Ответ: \(E(f) = \{0\}\).

1) Для функции \(f(x) = \sqrt{x} + 3\) область определения задаётся условием подкоренного выражения: \(\sqrt{x}\) существует только при \(x \geq 0\). Это значит, что рассматривать можно только неотрицательные значения \(x\). Минимальное значение \(\sqrt{x}\) будет при \(x = 0\), тогда \(\sqrt{0} + 3 = 3\). При увеличении \(x\) значение \(\sqrt{x}\) также увеличивается, и функция возрастает без ограничения сверху, то есть стремится к бесконечности.

Таким образом, все значения функции начинаются от 3 и далее больше. Формально, множество значений функции записывается как промежуток от 3 включительно и до плюс бесконечности: \(E(f) = [3; +\infty)\).

Это значит, что для любого \(y \geq 3\) найдётся такой \(x\), что \(f(x) = y\). Например, если \(y = 5\), то \(x = (y — 3)^2 = 4\), и \(f(4) = \sqrt{4} + 3 = 2 + 3 = 5\). Следовательно, весь промежуток достижим.

2) Для функции \(f(x) = \sqrt{x} — 1\) область определения также ограничена условием \(x \geq 0\), так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным. При \(x = 0\) значение функции минимально: \(f(0) = \sqrt{0} — 1 = -1\). По мере увеличения \(x\), \(\sqrt{x}\) возрастает, а значит и \(f(x)\) тоже.

Таким образом, значения функции начинаются с -1 и продолжаются до бесконечности. Формально: \(E(f) = [-1; +\infty)\).

Для любого \(y \geq -1\) можно найти соответствующий \(x\). Например, если \(y = 2\), то \(x = (y + 1)^2 = 9\), и \(f(9) = \sqrt{9} — 1 = 3 — 1 = 2\). Значит, все числа от -1 и выше — значения функции.

3) Функция \(f(x) = 2 — x^2\) определена для всех действительных \(x\), так как квадрат любого числа всегда неотрицателен. Однако, чем больше по модулю \(x\), тем меньше становится значение функции, потому что \(x^2\) вычитается из 2. Максимальное значение достигается при \(x = 0\): \(f(0) = 2\). При увеличении по модулю \(x\) значение \(f(x)\) уменьшается и стремится к минус бесконечности.

Значит, область значений функции — все числа, не превосходящие 2: \(E(f) = (-\infty; 2]\).

Если взять произвольное значение \(y \leq 2\), можно выразить \(x\) из уравнения \(2 — x^2 = y\), отсюда \(x^2 = 2 — y\). Для любого \(y \leq 2\) это выражение неотрицательно, и можно подобрать соответствующий \(x\). Например, для \(y = 0\), \(x^2 = 2\), то есть \(x = \pm \sqrt{2}\). Значит, любое число до 2 включительно — значение функции.