ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 69 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \(f(x) = 5 + \frac{1}{x — 3}\);

2) \(f(x) = -3x\);

3) \(f(x) = -2\);

4) \(f(x) = -\frac{4}{x}\).

1) Строим таблицу значений для \(f(x) = 5 + \frac{1}{3}x\):

2) Строим таблицу значений для \(f(x) = -3x\):

3) Для \(f(x) = -2\) значение всегда \(-2\), график — прямая \(y = -2\).

4) Строим таблицу значений для \(f(x) = -\frac{4}{x}\):

Функция \(f(x) = 5 + \frac{1}{x-3}\) представляет собой сдвинутую гиперболу. В данной функции переменная \(x\) находится в знаменателе, поэтому при \(x = 3\) знаменатель обращается в ноль, а выражение становится неопределённым. Это означает наличие вертикальной асимптоты, то есть график стремится к бесконечности, но никогда не пересекает прямую \(x = 3\). При больших положительных или отрицательных значениях \(x\) дробная часть \(\frac{1}{x-3}\) стремится к нулю, и функция приближается к значению \(y = 5\), что соответствует горизонтальной асимптоте. Если рассмотреть поведение функции вблизи асимптоты, то при \(x\) чуть меньше 3 значение дроби становится большим отрицательным числом, а при \(x\) чуть больше 3 — большим положительным числом. Это объясняет резкий скачок графика около \(x = 3\).

Таблица значений для этой функции строится по выбранным значениям \(x\): 0, 2, 4, 5. Для \(x = 0\) получаем \(f(0) = 5 + \frac{1}{0-3} = 5 — \frac{1}{3} \approx 4{,}67\). Для \(x = 2\) вычисляем \(f(2) = 5 + \frac{1}{2-3} = 5 — 1 = 4\). Для \(x = 4\) имеем \(f(4) = 5 + \frac{1}{4-3} = 5 + 1 = 6\). Для \(x = 5\) получаем \(f(5) = 5 + \frac{1}{5-3} = 5 + \frac{1}{2} = 5{,}5\). В результате значения функции изменяются скачкообразно около точки разрыва, а при удалении от неё стремятся к асимптоте. Важно отметить, что ни при каком значении \(x\) функция не принимает значения, соответствующие точке разрыва — это область недопустимых значений, которую обозначают символом \(\emptyset\).

График функции \(f(x) = 5 + \frac{1}{x-3}\) выглядит как две ветви гиперболы, расположенные по разные стороны вертикальной асимптоты \(x = 3\). При \(x < 3\) значения функции стремятся к минус бесконечности, а при \(x > 3\) — к плюс бесконечности. При этом обе ветви плавно приближаются к горизонтальной асимптоте \(y = 5\) по мере удаления от точки разрыва. Такое поведение характерно для рациональных функций, в которых переменная входит в знаменатель. График не пересекает ни вертикальную, ни горизонтальную асимптоту, а только стремится к ним при соответствующих значениях переменной.

Функция \(f(x) = -3x\) является линейной, коэффициент при \(x\) отрицательный, что определяет наклон прямой вниз слева направо. Эта функция определена для всех действительных значений \(x\), область её определения — вся числовая прямая. Каждое изменение \(x\) на единицу приводит к изменению значения функции на \(-3\), то есть график проходит через точки \((0;0)\), \((1;-3)\), \((2;-6)\). Нет ни вертикальных, ни горизонтальных асимптот, поскольку линейная функция не ограничена ни в одной из сторон. Если построить таблицу значений, то она будет выглядеть так:

График функции — прямая, проходящая через начало координат, с углом наклона, определяемым коэффициентом \(-3\). Чем больше абсолютное значение \(x\), тем ниже опускается график, если \(x\) положительное, и тем выше он поднимается, если \(x\) отрицательное. Такая функция часто встречается при описании линейных зависимостей, где скорость изменения переменной постоянна.

Функция \(f(x) = -2\) является постоянной и принимает одно и то же значение для любого \(x\). Это означает, что область определения функции — вся числовая прямая, а область значений — единственное число \(-2\). График функции — горизонтальная прямая, проходящая через точку \(y = -2\) на оси ординат. Для любых \(x\) мы получаем \(f(x) = -2\), то есть таблица значений будет выглядеть следующим образом:

График не имеет ни вертикальных, ни горизонтальных асимптот, так как он сам является горизонтальной прямой. Такая функция часто используется для описания процессов, не зависящих от переменной, например, постоянная температура или фиксированная стоимость.

Функция \(f(x) = -\frac{4}{x}\) также относится к классу рациональных функций, где переменная находится в знаменателе. В этой функции при \(x = 0\) знаменатель обращается в ноль, возникает точка разрыва, то есть вертикальная асимптота \(x = 0\). При больших значениях \(x\) дробь \(-\frac{4}{x}\) стремится к нулю, поэтому горизонтальная асимптота графика — прямая \(y = 0\). Если рассмотреть поведение функции для положительных значений \(x\), то результат отрицателен, а для отрицательных — положителен, так как минус в числителе меняет знак дроби.

Таблица значений для выбранных \(x\) выглядит так:

График функции состоит из двух симметричных ветвей, расположенных относительно вертикальной асимптоты \(x = 0\). При \(x > 0\) значения функции отрицательны и стремятся к нулю при увеличении \(x\), а при \(x < 0\) значения положительны и также стремятся к нулю при уменьшении \(x\) по модулю. График не пересекает ни вертикальную, ни горизонтальную асимптоту, а только приближается к ним по мере удаления от точки разрыва. Область допустимых значений функции — все числа, кроме нуля, то есть \(x \neq 0\), а область значений — все действительные числа, кроме нуля, так как ноль функция не принимает.