ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 70 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:
1) \(f(x) = 3 — \frac{1}{x}\);
2) \(h(x) = \frac{2x + 8}{x — 3}\);
3) \(g(x) = x^2 — 4x + 8\);
4) \(f(x) = \frac{x^2 — 2}{x^2 + 2}\).

1) Пересечение с осью ординат: \(f(0) = 3\).
Пересечение с осью абсцисс: \(3 — \frac{1}{4}x = 0 \Rightarrow x = 12\).
Ответ: (0; 3); (12; 0).

2) Пересечение с осью ординат: \(h(0) = \frac{2 \cdot 0 + 3}{0 — 3} = -1\).
Пересечение с осью абсцисс: \(2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -1{,}5\).
Ответ: (0; -1); (-1,5; 0).

3) Пересечение с осью ординат: \(g(0) = 3\).
Пересечение с осью абсцисс: \(x^2 — 4x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 3\).
Ответ: (0; 3); (1; 0); (3; 0).

4) Пересечение с осью ординат: \(f(0) = \frac{0^2 — 2}{0^2 + 2} = -1\).
Пересечение с осью абсцисс: \(x^2 — 2 = 0 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}\).
Ответ: (0; -1); (-\sqrt{2}; 0); (\sqrt{2}; 0).

1) Для нахождения точки пересечения графика функции с осью ординат нужно подставить \(x = 0\) в выражение функции. В первом случае имеем функцию \(f(x) = 3 — \frac{1}{4}x\). Подставляем \(x = 0\): \(f(0) = 3 — \frac{1}{4} \cdot 0 = 3\). Значит, точка пересечения с осью ординат — это точка с координатами (0; 3).

Чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс, приравниваем функцию к нулю: \(3 — \frac{1}{4}x = 0\). Переносим \(\frac{1}{4}x\) вправо: \(3 = \frac{1}{4}x\). Умножаем обе части на 4: \(12 = x\). Получаем точку пересечения с осью абсцисс: (12; 0).

Ответ: (0; 3); (12; 0).

2) Для второй функции \(h(x) = \frac{2x + 3}{x — 3}\) пересечение с осью ординат находим подстановкой \(x = 0\): \(h(0) = \frac{2 \cdot 0 + 3}{0 — 3} = \frac{3}{-3} = -1\). Точка пересечения с осью ординат: (0; -1).

Точку пересечения с осью абсцисс находим приравниванием числителя к нулю: \(2x + 3 = 0\). Решаем: \(2x = -3\), отсюда \(x = -1{,}5\). Подставляем в исходную функцию: \(h(-1{,}5) = \frac{2 \cdot (-1{,}5) + 3}{-1{,}5 — 3} = \frac{-3 + 3}{-4{,}5} = \frac{0}{-4{,}5} = 0\). Значит, точка пересечения с осью абсцисс: (-1,5; 0).

Ответ: (0; -1); (-1,5; 0).

3) Для функции \(g(x) = x^{2} — 4x + 3\) пересечение с осью ординат находится при \(x = 0\): \(g(0) = 0^{2} — 4 \cdot 0 + 3 = 3\). Точка пересечения с осью ординат: (0; 3).

Чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс, решаем уравнение \(x^{2} — 4x + 3 = 0\). Это квадратное уравнение, решаем через дискриминант: \(D = (-4)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\). Корни: \(x_{1} = \frac{4 — 2}{2} = 1\), \(x_{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3\). Значит, точки пересечения с осью абсцисс: (1; 0) и (3; 0).

Ответ: (0; 3); (1; 0); (3; 0).

4) Для функции \(f(x) = \frac{x^{2} — 2}{x^{2} + 2}\) пересечение с осью ординат находим подставляя \(x = 0\): \(f(0) = \frac{0^{2} — 2}{0^{2} + 2} = \frac{-2}{2} = -1\). Точка пересечения с осью ординат: (0; -1).

Для пересечения с осью абсцисс приравниваем числитель к нулю: \(x^{2} — 2 = 0\). Получаем \(x^{2} = 2\), отсюда \(x = \pm\sqrt{2}\). Подставляем: \(f(\sqrt{2}) = \frac{2 — 2}{2 + 2} = \frac{0}{4} = 0\), \(f(-\sqrt{2}) = \frac{2 — 2}{2 + 2} = 0\). Точки пересечения с осью абсцисс: (\(\sqrt{2}\); 0), (-\(\sqrt{2}\); 0).

Ответ: (0; -1); (-\sqrt{2}; 0); (\sqrt{2}; 0).