ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 70 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:
1) \(f(x) = 3 — \frac{1}{x}\);
2) \(h(x) = \frac{2x + 8}{x — 3}\);
3) \(g(x) = x^2 — 4x + 8\);
4) \(f(x) = \frac{x^2 — 2}{x^2 + 2}\).

1) Пересечение с осью ординат: \(\emptyset\)
Пересечение с осью абсцисс: \(\left(\frac{1}{3}; 0\right)\)

2) Пересечение с осью ординат: \((0; -\frac{8}{3})\)
Пересечение с осью абсцисс: \((-4; 0)\)

3) Пересечение с осью ординат: \((0; 8)\)
Пересечение с осью абсцисс: \(\emptyset\)

4) Пересечение с осью ординат: \((0; -1)\)
Пересечение с осью абсцисс: \((-\sqrt{2}; 0)\), \((\sqrt{2}; 0)\)

1)
Пересечение с осью ординат: подставляем \(x = 0\), получаем \(f(0) = 3 — \frac{1}{0}\), выражение не имеет смысла, значит пересечения нет: \(\emptyset\).
Пересечение с осью абсцисс: приравниваем функцию к нулю: \(3 — \frac{1}{x} = 0\), отсюда \(3 = \frac{1}{x}\), значит \(x = \frac{1}{3}\). Ответ: \(\left(\frac{1}{3}; 0\right)\).

2)
Пересечение с осью ординат: подставляем \(x = 0\), получаем \(h(0) = \frac{2 \cdot 0 + 8}{0 — 3} = \frac{8}{-3} = -\frac{8}{3}\). Ответ: \((0; -\frac{8}{3})\).
Пересечение с осью абсцисс: приравниваем функцию к нулю: \(\frac{2x + 8}{x — 3} = 0\), числитель равен нулю: \(2x + 8 = 0\), значит \(2x = -8\), \(x = -4\). Ответ: \((-4; 0)\).

3)
Пересечение с осью ординат: подставляем \(x = 0\), получаем \(g(0) = 0^2 — 4 \cdot 0 + 8 = 8\). Ответ: \((0; 8)\).
Пересечение с осью абсцисс: приравниваем функцию к нулю: \(x^2 — 4x + 8 = 0\). Дискриминант: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 — 32 = -16\), корней нет: \(\emptyset\).

4)
Пересечение с осью ординат: подставляем \(x = 0\), получаем \(f(0) = \frac{0^2 — 2}{0^2 + 2} = \frac{-2}{2} = -1\). Ответ: \((0; -1)\).
Пересечение с осью абсцисс: приравниваем функцию к нулю: \(\frac{x^2 — 2}{x^2 + 2} = 0\), числитель равен нулю: \(x^2 — 2 = 0\), значит \(x^2 = 2\), \(x = -\sqrt{2}\) и \(x = \sqrt{2}\). Ответ: \((-\sqrt{2}; 0)\), \((\sqrt{2}; 0)\).