ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 76 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что функция: 1) \(f(x) = \frac{5}{x + 2}\) убывает на промежутке \((-2; +\infty)\); 2) \(f(x) = 8x — x^2\) возрастает на промежутке \((-\infty; 4]\).

1) Пусть \(x_2 > x_1 > -2\). Рассмотрим разность значений функции:
\(f(x_2) — f(x_1) = \frac{5}{x_2 + 2} — \frac{5}{x_1 + 2}\)

Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{5}{x_2 + 2} — \frac{5}{x_1 + 2} = \frac{5(x_1 + 2) — 5(x_2 + 2)}{(x_2 + 2)(x_1 + 2)}\)

В числителе:
\(5(x_1 + 2) — 5(x_2 + 2) = 5x_1 + 10 — 5x_2 — 10 = 5x_1 — 5x_2 = 5(x_1 — x_2)\)

Значит,
\(f(x_2) — f(x_1) = \frac{5(x_1 — x_2)}{(x_2 + 2)(x_1 + 2)}\)

Так как \(x_2 > x_1\), то \(x_1 — x_2 < 0\), а знаменатель положительный, потому что \(x_1 > -2\) и \(x_2 > -2\).

Следовательно, \(f(x_2) — f(x_1) < 0\), то есть \(f(x_2) < f(x_1)\).

Значит, функция убывает на промежутке \((-2; +\infty)\).

2) Пусть \(x_1 < x_2 \leq 4\). Рассмотрим разность значений функции:
\(f(x_2) — f(x_1) = (8x_2 — x_2^2) — (8x_1 — x_1^2)\)

Раскроем скобки:
\(8x_2 — x_2^2 — 8x_1 + x_1^2 = 8(x_2 — x_1) — (x_2^2 — x_1^2)\)

Разность квадратов:
\(x_2^2 — x_1^2 = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1)\)

Подставим:
\(f(x_2) — f(x_1) = 8(x_2 — x_1) — (x_2 — x_1)(x_2 + x_1)\)

Вынесем общий множитель:
\(f(x_2) — f(x_1) = (x_2 — x_1)(8 — (x_2 + x_1))\)

Так как \(x_2 > x_1\), то \(x_2 — x_1 > 0\). По условию \(x_2 \leq 4\) и \(x_1 < x_2\), значит \(x_2 + x_1 \leq 8\), поэтому \(8 — (x_2 + x_1) \geq 0\).

Произведение положительных чисел даёт положительное число:
\(f(x_2) — f(x_1) > 0\), то есть \(f(x_2) > f(x_1)\).

Значит, функция возрастает на промежутке \((-\infty; 4]\).

В первом случае рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{5}{x + 2}\) на промежутке \((-2; +\infty)\). Пусть выбраны две точки \(x_2 > x_1 > -2\). Тогда разность значений функции в этих точках равна \(f(x_2) — f(x_1) = \frac{5}{x_2 + 2} — \frac{5}{x_1 + 2}\). Для того чтобы сравнить эти значения, приведём дроби к общему знаменателю: \(\frac{5}{x_2 + 2} — \frac{5}{x_1 + 2} = \frac{5(x_1 + 2) — 5(x_2 + 2)}{(x_2 + 2)(x_1 + 2)}\). Далее раскрываем скобки в числителе: \(5(x_1 + 2) — 5(x_2 + 2) = 5x_1 + 10 — 5x_2 — 10 = 5x_1 — 5x_2\). Значит, числитель можно записать как \(5(x_1 — x_2)\), а знаменатель остаётся произведением двух положительных выражений, так как оба аргумента больше \(-2\).

Теперь окончательно получаем: \(f(x_2) — f(x_1) = \frac{5(x_1 — x_2)}{(x_2 + 2)(x_1 + 2)}\). Так как по условию \(x_2 > x_1\), разность \(x_1 — x_2\) будет отрицательной. Знаменатель, как уже отмечалось, положителен, так как оба множителя больше нуля. Следовательно, вся дробь отрицательна: \(f(x_2) — f(x_1) < 0\), а значит, значение функции в большей точке меньше, чем в меньшей. Это означает, что функция строго убывает на рассматриваемом промежутке: если увеличивать \(x\), то \(f(x)\) будет уменьшаться.

Таким образом, на промежутке \((-2; +\infty)\) функция \(f(x) = \frac{5}{x + 2}\) убывает, поскольку для любых двух точек \(x_1\) и \(x_2\), где \(x_2 > x_1 > -2\), выполняется неравенство \(f(x_2) < f(x_1)\). Это соответствует определению убывающей функции: при увеличении аргумента значение функции уменьшается. Доказательство основано на анализе знака разности значений функции и свойств дробных выражений при различных значениях переменной.

Во втором случае анализируем функцию \(f(x) = 8x — x^2\) на промежутке \((-\infty; 4]\). Пусть выбраны точки \(x_1 < x_2 \leq 4\). Разность значений функции равна \(f(x_2) — f(x_1) = (8x_2 — x_2^2) — (8x_1 — x_1^2)\). Раскрываем скобки: \(8x_2 — x_2^2 — 8x_1 + x_1^2 = 8(x_2 — x_1) — (x_2^2 — x_1^2)\). Далее используем формулу разности квадратов: \(x_2^2 — x_1^2 = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1)\). Подставляем это выражение и выносим общий множитель: \(f(x_2) — f(x_1) = 8(x_2 — x_1) — (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) = (x_2 — x_1)(8 — (x_2 + x_1))\).

Теперь рассмотрим знаки множителей. По условию \(x_2 > x_1\), значит \(x_2 — x_1 > 0\). Также известно, что \(x_2 \leq 4\), а \(x_1 < x_2\), поэтому \(x_2 + x_1 \leq 8\), следовательно, \(8 — (x_2 + x_1) \geq 0\). Произведение двух положительных чисел всегда положительно, поэтому \(f(x_2) — f(x_1) > 0\). Это означает, что значение функции в большей точке больше, чем в меньшей, то есть функция возрастает на данном промежутке.

Таким образом, на промежутке \((-\infty; 4]\) функция \(f(x) = 8x — x^2\) возрастает, потому что для любых двух точек \(x_1\) и \(x_2\), где \(x_1 < x_2 \leq 4\), выполняется неравенство \(f(x_2) > f(x_1)\). Это соответствует определению возрастающей функции: при увеличении аргумента значение функции увеличивается. Доказательство основано на анализе алгебраических преобразований выражения разности значений функции и знаков полученных множителей.