Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 76 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что функция: 1) \(f(x) = \frac{5}{x + 2}\) убывает на промежутке \((-2; +\infty)\); 2) \(f(x) = 8x — x^2\) возрастает на промежутке \((-\infty; 4]\).
Пусть \(x_2 > x_1 > -2\):
\(f(x_2) — f(x_1) = \frac{5}{x_2 + 2} — \frac{5}{x_1 + 2} = \frac{5(x_1 + 2) — 5(x_2 + 2)}{(x_2 + 2)(x_1 + 2)} = \frac{5(x_1 — x_2)}{(x_2 + 2)(x_1 + 2)} < 0\)
\(f(x_2) < f(x_1)\)
Функция убывает.
Пусть \(x_1 < x_2 \leq 4\):
\(f(x_2) — f(x_1) = (8x_2 — x_2^2) — (8x_1 — x_1^2) = 8(x_2 — x_1) — (x_2^2 — x_1^2) =\)
\(= 8(x_2 — x_1) — (x_2 — x_1)(x_2 + x_1) = (x_2 — x_1)(8 — (x_2 + x_1)) > 0\)
\(f(x_2) > f(x_1)\)
Функция возрастает.
1) Пусть \(x_2 > x_1 > -2\). Рассмотрим разность значений функции:
\(f(x_2) — f(x_1) = \frac{5}{x_2 + 2} — \frac{5}{x_1 + 2}\)
Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{5}{x_2 + 2} — \frac{5}{x_1 + 2} = \frac{5(x_1 + 2) — 5(x_2 + 2)}{(x_2 + 2)(x_1 + 2)}\)
В числителе:
\(5(x_1 + 2) — 5(x_2 + 2) = 5x_1 + 10 — 5x_2 — 10 = 5x_1 — 5x_2 = 5(x_1 — x_2)\)
Значит,
\(f(x_2) — f(x_1) = \frac{5(x_1 — x_2)}{(x_2 + 2)(x_1 + 2)}\)
Так как \(x_2 > x_1\), то \(x_1 — x_2 < 0\), а знаменатель положительный, потому что \(x_1 > -2\) и \(x_2 > -2\).
Следовательно, \(f(x_2) — f(x_1) < 0\), то есть \(f(x_2) < f(x_1)\).
Значит, функция убывает на промежутке \((-2; +\infty)\).
2) Пусть \(x_1 < x_2 \leq 4\). Рассмотрим разность значений функции:
\(f(x_2) — f(x_1) = (8x_2 — x_2^2) — (8x_1 — x_1^2)\)
Раскроем скобки:
\(8x_2 — x_2^2 — 8x_1 + x_1^2 = 8(x_2 — x_1) — (x_2^2 — x_1^2)\)
Разность квадратов:
\(x_2^2 — x_1^2 = (x_2 — x_1)(x_2 + x_1)\)
Подставим:
\(f(x_2) — f(x_1) = 8(x_2 — x_1) — (x_2 — x_1)(x_2 + x_1)\)
Вынесем общий множитель:
\(f(x_2) — f(x_1) = (x_2 — x_1)(8 — (x_2 + x_1))\)
Так как \(x_2 > x_1\), то \(x_2 — x_1 > 0\). По условию \(x_2 \leq 4\) и \(x_1 < x_2\), значит \(x_2 + x_1 \leq 8\), поэтому \(8 — (x_2 + x_1) \geq 0\).
Произведение положительных чисел даёт положительное число:
\(f(x_2) — f(x_1) > 0\), то есть \(f(x_2) > f(x_1)\).
Значит, функция возрастает на промежутке \((-\infty; 4]\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.