ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 91 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f(x) = x^2 — 4x + 3\). Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства \(f(x) > 0\); \(f(x) < 0\).

1) \( y_{наиб} \) — не существует; \( y_{наим} = -1 \)

2) \( E(f) = [-1; +\infty) \)

3) Функция возрастает на \( [2; +\infty) \); функция убывает на \( (-\infty; 2] \)

4) \( f(x) > 0 \), если \( x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \);
\( f(x) < 0 \), если \( x \in (1; 3) \)

1) Функция \( y = x^{2} — 4x + 3 \) — это парабола, ветви которой направлены вверх. Наибольшего значения нет, так как при больших значениях \( x \) функция стремится к бесконечности. Найдём наименьшее значение. Вершина параболы находится по формуле \( x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \). Подставим \( x = 2 \) в функцию: \( y_{min} = 2^{2} — 4 \cdot 2 + 3 = 4 — 8 + 3 = -1 \).

2) Область значений функции: минимальное значение \( y = -1 \), максимального нет, так как функция возрастает до бесконечности. Значит, \( E(f) = [-1; +\infty) \).

3) Найдём промежутки возрастания и убывания. Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает слева от вершины и возрастает справа. Вершина в точке \( x = 2 \). Значит, функция убывает на \( (-\infty; 2] \), возрастает на \( [2; +\infty) \).

4) Решим неравенства. Найдём нули функции: \( x^{2} — 4x + 3 = 0 \). Решим квадратное уравнение: \( x^{2} — 4x + 3 = 0 \). Найдём дискриминант: \( D = (-4)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \). Найдём корни: \( x_{1} = \frac{4 — 2}{2} = 1 \), \( x_{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \). Так как коэффициент при \( x^{2} \) положительный, между корнями функция отрицательна, вне корней — положительна. Значит, \( f(x) > 0 \) при \( x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \), \( f(x) < 0 \) при \( x \in (1; 3) \).