ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 92 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции \(f(x) = 6x — 3x^2\). Используя график, найдите:

1) наибольшее и наименьшее значения функции;

2) область значений функции;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

4) множество решений неравенства \(f(x) > 0\); \(f(x) = 0\).

1) \(y_{наиб} = 3;\) \(y_{наим}\) — не существует;

2) \(E(f) = (-\infty; 3]\);

3) Функция возрастает на \((-\infty; 1];\) функция убывает на \([1; +\infty)\);

4) \(f(x) > 0,\) если \(x \in (0; 2);\)
\(f(x) \leq 0,\) если \(x \in (-\infty; 0] \cup [2; +\infty)\);
\(f(x) = 0,\) если \(x = 0\) или \(x = 2\).

1) Функция \(f(x) = 6x — 3x^{2}\) — это парабола, ветви вниз, так как коэффициент при \(x^{2}\) отрицательный. Наибольшее значение достигается в вершине. Координата вершины: \(x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = 1\). Подставим: \(f(1) = 6 \cdot 1 — 3 \cdot 1^{2} = 6 — 3 = 3\). Наименьшего значения нет, так как функция не ограничена снизу.

2) Область значений: функция принимает любые значения, меньшие или равные максимальному, то есть \(E(f) = (-\infty; 3]\).

3) Функция возрастает на промежутке слева от вершины, то есть при \(x \leq 1\), убывает при \(x \geq 1\). Ответ: возрастает на \((-\infty; 1]\), убывает на \([1; +\infty)\).

4) Решим неравенство \(f(x) > 0\): \(6x — 3x^{2} > 0\). Разделим на 3: \(2x — x^{2} > 0\). Перенесём всё в одну сторону: \(-x^{2} + 2x > 0\). Домножим на -1 (неравенство меняет знак): \(x^{2} — 2x < 0\). Решим квадратное уравнение: \(x^{2} — 2x = 0\), корни \(x_{1} = 0\), \(x_{2} = 2\). Так как ветви вверх, внутри промежутка между корнями выражение отрицательно: \(x \in (0; 2)\).

Решим уравнение \(f(x) = 0\): \(6x — 3x^{2} = 0\). Вынесем \(x\): \(x(6 — 3x) = 0\). Первый корень \(x = 0\), второй \(6 — 3x = 0 \Rightarrow x = 2\).