ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 94 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты точки параболы \(y = x^2 + 3x — 8\), у которой:
1) абсцисса и ордината равны;
2) сумма абсциссы и ординаты равна 4.

\(x = y\)
\(a = a^{2} + 3a — 8\)
\(a^{2} + 2a — 8 = 0\)
\(D = 2^{2} + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36\)
\(a_{1} = \frac{-2 — 6}{2} = -4\)
\(a_{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2\)
\((-4; -4),\ (2; 2)\)

\(x + y = 4\)
\(y = 4 — x\)
\(4 — x = x^{2} + 3x — 8\)
\(x^{2} + 4x — 12 = 0\)
\(D = 4^{2} + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64\)
\(x_{1} = \frac{-4 — 8}{2} = -6\)
\(x_{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2\)
\(y_{1} = 4 — (-6) = 10\)
\(y_{2} = 4 — 2 = 2\)
\((-6; 10),\ (2; 2)\)

1. Пусть абсцисса равна ординате: \(x = y\).
Подставляем в уравнение параболы: \(y = x^{2} + 3x — 8\).
Получаем: \(x = x^{2} + 3x — 8\).
Переносим всё в одну сторону: \(x^{2} + 3x — 8 — x = 0\),
Собираем подобные: \(x^{2} + 2x — 8 = 0\).
Находим дискриминант: \(D = 2^{2} + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36\).
Корни:
\(x_{1} = \frac{-2 — 6}{2} = -4\),
\(x_{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2\).
Точки: \((-4; -4)\), \((2; 2)\).

2. Пусть сумма абсциссы и ординаты равна четырём: \(x + y = 4\).
Выразим ординату: \(y = 4 — x\).
Подставляем в уравнение параболы: \(4 — x = x^{2} + 3x — 8\).
Переносим всё в одну сторону: \(x^{2} + 3x — 8 + x — 4 = 0\).
Собираем подобные: \(x^{2} + 4x — 12 = 0\).
Находим дискриминант: \(D = 4^{2} + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64\).
Корни:
\(x_{1} = \frac{-4 — 8}{2} = -6\),
\(x_{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2\).
Находим ординаты:
Для \(x_{1} = -6\): \(y_{1} = 4 — (-6) = 10\),
Для \(x_{2} = 2\): \(y_{2} = 4 — 2 = 2\).
Точки: \((-6; 10)\), \((2; 2)\).