ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 94 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите координаты точки параболы \(y = x^2 + 3x — 8\), у которой:
1) абсцисса и ордината равны;
2) сумма абсциссы и ординаты равна 4.

1) \(x = y = a\), \(a = a^{2} + 3a — 8\), \(a^{2} + 2a — 8 = 0\), \(D = 2^{2} + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36\), \(a_{1} = \frac{-2 — 6}{2} = -4\), \(a_{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2\)
\((-4; -4)\), \((2; 2)\)

2) \(x + y = 4\), \(y = 4 — x\), \(4 — x = x^{2} + 3x — 8\), \(x^{2} + 4x — 12 = 0\), \(D = 4^{2} + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64\), \(x_{1} = \frac{-4 — 8}{2} = -6\), \(x_{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2\), \(y_{1} = 4 — (-6) = 10\), \(y_{2} = 4 — 2 = 2\)
\((-6; 10)\), \((2; 2)\)

1) Пусть абсцисса и ордината равны, то есть \(x = y\). Подставляем в уравнение параболы: \(y = x^{2} + 3x — 8\). Получаем: \(x = x^{2} + 3x — 8\). Переносим всё в одну сторону: \(x — x^{2} — 3x + 8 = 0\), то есть \(-x^{2} — 2x + 8 = 0\). Домножаем на \(-1\): \(x^{2} + 2x — 8 = 0\).

Находим дискриминант: \(D = 2^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\).

Находим корни:
\(x_{1} = \frac{-2 — 6}{2} = -4\)
\(x_{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2\)

Ответ: \((-4; -4)\), \((2; 2)\)

2) Пусть сумма абсциссы и ординаты равна 4, то есть \(x + y = 4\). Тогда \(y = 4 — x\). Подставляем в уравнение параболы: \(4 — x = x^{2} + 3x — 8\). Переносим всё в одну сторону: \(4 — x — x^{2} — 3x + 8 = 0\), то есть \(-x^{2} — 4x + 12 = 0\). Домножаем на \(-1\): \(x^{2} + 4x — 12 = 0\).

Находим дискриминант: \(D = 4^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\).

Находим корни:
\(x_{1} = \frac{-4 — 8}{2} = -6\)
\(x_{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2\)

Находим ординаты:
Для \(x_{1} = -6\): \(y_{1} = 4 — (-6) = 10\)
Для \(x_{2} = 2\): \(y_{2} = 4 — 2 = 2\)

Ответ: \((-6; 10)\), \((2; 2)\)