ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 95 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) \(f(x) = 2x^2 — 8x + 1\);

2) \(f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + x — 2\);

3) \(f(x) = 17 — 16x — 0{,}2x^2\);

4) \(f(x) = 5x^2 + 8x\).

1) \( x_0 = \frac{8}{4} = 2 \)
\( y_0 = 2 \cdot 2^{2} — 8 \cdot 2 + 1 = 8 — 16 + 1 = -7 \)
\( E(f) = [-7; +\infty) \)
Возрастает на \( [2; +\infty) \), убывает на \( (-\infty; 2] \)

2) \( x_0 = \frac{1}{-\frac{2}{3}} = -\frac{3}{2} = 1{,}5 \)
\( y_0 = -\frac{1}{3} \cdot (1{,}5)^{2} + 1{,}5 — 2 = -0{,}75 + 1{,}5 — 2 = -1{,}25 \)
\( E(f) = (-\infty; -1{,}25] \)
Возрастает на \( (-\infty; 1{,}5] \), убывает на \( [1{,}5; +\infty) \)

3) \( x_0 = \frac{16}{-0{,}4} = -40 \)
\( y_0 = 17 — 16 \cdot (-40) — 0{,}2 \cdot (-40)^{2} = 17 + 640 — 320 = 337 \)
\( E(f) = (-\infty; 337] \)
Возрастает на \( (-\infty; -40] \), убывает на \( [-40; +\infty) \)

4) \( x_0 = -\frac{8}{10} = -0{,}8 \)
\( y_0 = 5 \cdot (-0{,}8)^{2} + 8 \cdot (-0{,}8) = 3{,}2 — 6{,}4 = -3{,}2 \)
\( E(f) = [-3{,}2; +\infty) \)
Возрастает на \( [-0{,}8; +\infty) \), убывает на \( (-\infty; -0{,}8] \)

1)
Функция \( f(x) = 2x^{2} — 8x + 1 \).
Коэффициент при \( x^{2} \) равен 2, значит ветви параболы вверх.
Вершина параболы находится по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 2 \), \( b = -8 \).
\( x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \)
Находим значение функции в вершине:
\( y_0 = 2 \cdot 2^{2} — 8 \cdot 2 + 1 = 2 \cdot 4 — 16 + 1 = 8 — 16 + 1 = -7 \)
Область значений: \( E(f) = [-7; +\infty) \)
Парабола возрастает на \( [2; +\infty) \), убывает на \( (-\infty; 2] \)

2)
Функция \( f(x) = -\frac{1}{3}x^{2} + x — 2 \).
Коэффициент при \( x^{2} \) равен \(-\frac{1}{3}\), значит ветви параболы вниз.
Вершина параболы: \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -\frac{1}{3} \), \( b = 1 \).
\( x_0 = -\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = -\frac{1}{-\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} = 1{,}5 \)
Находим значение функции в вершине:
\( y_0 = -\frac{1}{3} \cdot (1{,}5)^{2} + 1{,}5 — 2 = -\frac{1}{3} \cdot 2{,}25 + 1{,}5 — 2 = -0{,}75 + 1{,}5 — 2 = -1{,}25 \)
Область значений: \( E(f) = (-\infty; -1{,}25] \)
Парабола возрастает на \( (-\infty; 1{,}5] \), убывает на \( [1{,}5; +\infty) \)

3)
Функция \( f(x) = 17 — 16x — 0{,}2x^{2} \).
Коэффициент при \( x^{2} \) равен \(-0{,}2\), значит ветви параболы вниз.
Вершина параболы: \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -0{,}2 \), \( b = -16 \).
\( x_0 = -\frac{-16}{2 \cdot (-0{,}2)} = \frac{16}{-0{,}4} = -40 \)
Находим значение функции в вершине:
\( y_0 = 17 — 16 \cdot (-40) — 0{,}2 \cdot (-40)^{2} = 17 + 640 — 0{,}2 \cdot 1600 = 657 — 320 = 337 \)
Область значений: \( E(f) = (-\infty; 337] \)
Парабола возрастает на \( (-\infty; -40] \), убывает на \( [-40; +\infty) \)

4)
Функция \( f(x) = 5x^{2} + 8x \).
Коэффициент при \( x^{2} \) равен 5, значит ветви параболы вверх.
Вершина параболы: \( x_0 = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 5 \), \( b = 8 \).
\( x_0 = -\frac{8}{2 \cdot 5} = -\frac{8}{10} = -0{,}8 \)
Находим значение функции в вершине:
\( y_0 = 5 \cdot (-0{,}8)^{2} + 8 \cdot (-0{,}8) = 5 \cdot 0{,}64 — 6{,}4 = 3{,}2 — 6{,}4 = -3{,}2 \)
Область значений: \( E(f) = [-3{,}2; +\infty) \)
Парабола возрастает на \( [-0{,}8; +\infty) \), убывает на \( (-\infty; -0{,}8] \)