ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 10 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Дано: \(a < 0\) и \(b > 0\). Сравните:
1) \(a — b\) и 0;
2) \(b — a\) и \(-b\);
3) \(3a — 2b\) и \(b\);
4) \(\frac{1}{a — 5b}\) и \(\frac{1}{b}\).

1) Сравним \(a — b\) и 0. Найдем разность:
\((a — b) — 0 = a — b = a + (0 — b)\).
Так как \(a < 0\) и \(0 — b < 0\), то сумма отрицательных чисел меньше нуля.
Ответ: \(a — b < 0\).

2) Сравним \(b — a\) и \(-b\). Найдем разность: \((b — a) — (-b) = b — a + b = 2b — a = 2b + (0 — a)\). Поскольку \(b > 0\) и \(0 — a > 0\), сумма положительных чисел больше нуля.
Ответ: \(b — a > -b\).

3) Сравним \(3a — 2b\) и \(b\). Найдем разность:
\((3a — 2b) — b = 3a — 3b = 3a + 3(0 — b)\).
Так как \(a < 0\) и \(0 — b < 0\), сумма отрицательных чисел меньше нуля.
Ответ: \(3a — 2b < b\).

4) Сравним \(\frac{1}{a — 5b}\) и \(\frac{1}{b}\).
Сначала сравним \(a — 5b\) с нулем:
\(a — 5b = a + 5(0 — b)\).
Поскольку \(a < 0\) и \(0 — b < 0\), то \(a — 5b < 0\), значит \(\frac{1}{a — 5b} < 0\). Второе число \(\frac{1}{b} > 0\), так как \(b > 0\).
Ответ: \(\frac{1}{a — 5b} < \frac{1}{b}\).

1) Рассмотрим выражение \(a — b\) и сравним его с нулём. Для этого вычислим разность \((a — b) — 0\), которая равна просто \(a — b\). Запишем это в виде суммы: \(a + (0 — b)\). Из условий задачи известно, что \(a < 0\), то есть число \(a\) отрицательное. Также \(b > 0\), значит \(0 — b\) — это отрицательное число, поскольку вычитаем положительное из нуля. Таким образом, мы складываем два отрицательных числа: \(a\) и \(0 — b\). Сумма двух отрицательных чисел всегда меньше нуля, так как отрицательные числа расположены слева от нуля на числовой оси, и их сумма смещается ещё дальше влево. Следовательно, \(a — b < 0\).

Важным моментом здесь является понимание того, что операция вычитания \(b\) из \(a\) эквивалентна сложению \(a\) и отрицательного числа \(-b\). Поскольку оба слагаемых отрицательны, результат не может быть положительным или нулём. Это строгое неравенство, а не равенство или неравенство с обратным знаком. Таким образом, мы уверенно утверждаем, что \(a — b\) меньше нуля.

Итог: разность \(a — b\) — это сумма двух отрицательных чисел, что гарантирует строгое отрицательное значение. Поэтому ответ: \(a — b < 0\).

2) Теперь сравним выражения \(b — a\) и \(-b\). Для этого вычислим разность \((b — a) — (-b)\). Раскроем скобки: \(b — a + b = 2b — a\). Перепишем как сумму: \(2b + (0 — a)\). По условию \(b > 0\), значит \(2b\) — это положительное число, так как удвоение положительного числа сохраняет знак. Также \(a < 0\), значит \(0 — a > 0\), так как вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению положительного. Таким образом, у нас сумма двух положительных чисел: \(2b\) и \(0 — a\).

Сумма двух положительных чисел всегда больше нуля, так как каждое из них положительно и складывается, увеличивая итоговое значение. Следовательно, разность \((b — a) — (-b)\) положительна, что означает \(b — a > -b\).

Здесь важно понять, что выражение \(-b\) — это отрицательное число, так как \(b > 0\). При сравнении с \(b — a\), который, как мы показали, больше \(-b\), мы видим, что \(b — a\) смещено вправо по числовой оси относительно \(-b\). Это подтверждает строгое неравенство \(b — a > -b\).

Итог: сумма положительных чисел \(2b\) и \(0 — a\) положительна, следовательно, \(b — a\) больше \(-b\).

3) Рассмотрим теперь сравнение \(3a — 2b\) и \(b\). Вычислим разность \((3a — 2b) — b = 3a — 3b\). Перепишем в виде суммы: \(3a + 3(0 — b)\). Известно, что \(a < 0\), следовательно \(3a\) — это отрицательное число, так как умножение отрицательного числа на положительное сохраняет знак. Аналогично \(b > 0\), значит \(0 — b < 0\), и \(3(0 — b)\) — тоже отрицательное число.

Суммируя два отрицательных числа \(3a\) и \(3(0 — b)\), получаем отрицательное число, которое меньше нуля. Таким образом, разность \((3a — 2b) — b\) отрицательна, что эквивалентно неравенству \(3a — 2b < b\).

Здесь важно отметить, что коэффициенты 3 и -2 не изменяют знаки слагаемых, а лишь масштабируют их величины. Поскольку оба слагаемых отрицательны, их сумма остаётся отрицательной, что и доказывает указанное неравенство.

Итог: сумма отрицательных чисел \(3a\) и \(3(0 — b)\) отрицательна, следовательно, \(3a — 2b < b\).

4) Рассмотрим сравнение дробей \(\frac{1}{a — 5b}\) и \(\frac{1}{b}\). Для начала определим знак знаменателя \(a — 5b\). Запишем \(a — 5b\) как сумму: \(a + 5(0 — b)\). Из условия \(a < 0\), значит \(a\) отрицательно. Также \(b > 0\), значит \(0 — b < 0\), и \(5(0 — b)\) — отрицательное число. Сумма двух отрицательных чисел \(a\) и \(5(0 — b)\) остаётся отрицательной, следовательно, \(a — 5b < 0\).

Теперь рассмотрим знаки дробей. Знаменатель \(a — 5b\) отрицателен, значит \(\frac{1}{a — 5b}\) — дробь с отрицательным знаменателем, следовательно, сама дробь отрицательна. В то же время \(b > 0\), значит \(\frac{1}{b} > 0\), так как обратное положительное число тоже положительно.

Сравнивая отрицательное число \(\frac{1}{a — 5b}\) и положительное \(\frac{1}{b}\), очевидно, что \(\frac{1}{a — 5b} < \frac{1}{b}\).

Итог: так как \(a — 5b < 0\), дробь \(\frac{1}{a — 5b}\) отрицательна, а \(\frac{1}{b}\) положительна, следовательно, \(\frac{1}{a — 5b} < \frac{1}{b}\).