ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 103 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Пусть \(D\) — дискриминант квадратного трёхчлена \(ax^2 + bx + c\). Изобразите схематически график квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\), если:

1) \(a < 0\), \(D > 0\), \(c < 0\), \(-\frac{b}{2a} = 0\);

2) \(a > 0\), \(D = 0\), \(-\frac{b}{2a} < 0\);

3) \(a > 0\), \(c = 0\), \(-\frac{b}{2a} > 0\).

1) \(a < 0\) — ветви вниз, \(D > 0\) — два корня, \(c < 0\) — \(f(0) < 0\), вершина в точке \(x_0 = -\frac{b}{2a} = 0\). График — ветви вниз, пересекает ось \(x\) в двух точках, пересекает ось \(y\) ниже нуля.

2) \(a > 0\) — ветви вверх, \(D = 0\) — один корень, \(-\frac{b}{2a} < 0\) — вершина слева от нуля, \(y_0 = 0\). График касается оси \(x\) в одной точке, ветви направлены вверх.

3) \(a > 0\) — ветви вверх, \(c = 0\) — \(f(0) = 0\), \(-\frac{b}{2a} > 0\) — вершина справа от нуля. График проходит через начало координат, ветви вверх, имеет один корень в нуле и второй положительный корень.

1) Дана функция \(y = ax^2 + bx + c\) с условиями: \(a < 0\), \(D > 0\), \(c < 0\), \(-\frac{b}{2a} = 0\). Поскольку \(a < 0\), ветви параболы направлены вниз. Дискриминант \(D = b^2 — 4ac > 0\) означает, что функция имеет два различных корня, то есть график пересекает ось \(x\) в двух точках. Условие \(c < 0\) говорит, что значение функции в точке \(x = 0\) отрицательное (\(f(0) = c < 0\)), следовательно, график пересекает ось \(y\) ниже нуля. Вершина параболы находится в точке \(x_0 = -\frac{b}{2a} = 0\), и значение функции в вершине \(y_0 = f(x_0) = c — \frac{b^2}{4a}\), но поскольку \(x_0 = 0\), \(y_0 = c < 0\). Таким образом, график параболы с ветвями вниз, пересекает ось \(x\) в двух точках, а ось \(y\) в отрицательной точке.

2) Для функции с условиями \(a > 0\), \(D = 0\), \(-\frac{b}{2a} < 0\). Поскольку \(a > 0\), ветви параболы направлены вверх. Дискриминант \(D = 0\) означает, что функция имеет один корень, то есть график касается оси \(x\) в одной точке. Вершина параболы находится в точке \(x_0 = -\frac{b}{2a} < 0\), то есть слева от начала координат. Значение функции в вершине равно \(y_0 = -\frac{D}{4a} = 0\), так как \(D=0\). Следовательно, график касается оси \(x\) в точке вершины и ветви направлены вверх.

3) Рассмотрим функцию с условиями \(a > 0\), \(c = 0\), \(-\frac{b}{2a} > 0\). При \(a > 0\) ветви параболы направлены вверх. Значение функции в нуле равно \(f(0) = c = 0\), то есть график проходит через начало координат. Вершина параболы расположена в точке \(x_0 = -\frac{b}{2a} > 0\), то есть справа от начала координат. Поскольку \(c = 0\), один из корней равен нулю, а второй корень положителен. График проходит через начало координат и имеет ветви, направленные вверх.