Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 105 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
При каких значениях \(a\) функция \(y = 3x^2 — 12x + a\) принимает положительные значения при всех действительных значениях \(x\)?
Дана функция \(y = 3x^2 — 12x + a\).
Для того чтобы функция принимала положительные значения при всех \(x \in \mathbb{R}\), необходимо, чтобы парабола была направлена вверх (коэффициент при \(x^2\) положителен) и не имела корней, то есть дискриминант \(D < 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-12)^2 — 4 \cdot 3 \cdot a = 144 — 12a\).
Условие отсутствия корней:
\(144 — 12a < 0 \Rightarrow 144 < 12a \Rightarrow a > 12\).
Ответ: \(a \in (12; +\infty)\).
1) Рассмотрим функцию \( y = 3x^{2} — 12x + a \). Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при \( x^{2} \) равен 3, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это важное условие, так как для того, чтобы функция была положительной на всей числовой оси, парабола должна быть направлена вверх и не пересекать ось абсцисс.
2) Чтобы определить, при каких значениях параметра \( a \) функция не принимает отрицательных значений, нужно исследовать корни уравнения \( 3x^{2} — 12x + a = 0 \). Корни находятся по формуле квадратного уравнения через дискриминант \( D \), который вычисляется по формуле \( D = b^{2} — 4ac \), где \( a = 3 \), \( b = -12 \), и \( c = a \) (параметр). Подставим значения: \( D = (-12)^{2} — 4 \cdot 3 \cdot a = 144 — 12a \).
3) Для того чтобы функция была положительной для всех \( x \in \mathbb{R} \), уравнение не должно иметь действительных корней, иначе парабола пересекала бы ось \( x \) и функция принимала бы нулевые или отрицательные значения. Отсутствие корней означает, что дискриминант должен быть строго меньше нуля: \( D < 0 \). Подставим выражение для дискриминанта: \( 144 — 12a < 0 \). Переносим \( 12a \) в левую часть: \( 144 < 12a \). Делим обе части на 12: \( 12 < a \). Таким образом, при \( a > 12 \) парабола не пересекает ось \( x \) и функция положительна на всей числовой оси.
Ответ: \( a \in (12; +\infty) \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.