Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 106 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
При каких значениях \(a\) функция \(y = (a + 5)x^2 — 4x + 2\) принимает отрицательные значения при всех действительных значениях \(x\)?
Функция принимает отрицательные значения при всех \(x\), если ветви параболы направлены вниз и дискриминант меньше нуля:
1) Ветви вниз: \(a + 5 < 0 \Rightarrow a < -5\)
2) Дискриминант \(D = (-4)^2 — 4(a+5) \cdot 2 = 16 — 8a — 40 = -24 — 8a < 0\)
\(-24 — 8a < 0 \Rightarrow -24 < 8a \Rightarrow a > -3\)
Одновременное выполнение условий \(a < -5\) и \(a > -3\) невозможно, значит таких \(a\) нет.
Ответ: \(a \in \emptyset\)
Функция \( y = (a + 5)x^2 — 4x + 2 \) примет отрицательные значения для всех действительных \( x \), если выполняются два условия: ветви параболы направлены вниз, то есть коэффициент при \( x^2 \) отрицателен, и дискриминант квадратного трёхчлена меньше нуля, что гарантирует отсутствие корней уравнения.
1) Ветви параболы направлены вниз, если коэффициент при \( x^2 \) меньше нуля. Коэффициент при \( x^2 \) равен \( a + 5 \). Следовательно, условие \( a + 5 < 0 \) даёт \( a < -5 \).
2) Дискриминант квадратного трёхчлена вычисляется по формуле:
\[
D = b^2 — 4ac,
\]
где \( b \) — коэффициент при \( x \), \( c \) — свободный член, а \( a \) — коэффициент при \( x^2 \). Для данной функции \( b = -4 \), \( c = 2 \), \( a = a + 5 \). Тогда:
\[
D = (-4)^2 — 4(a + 5) \cdot 2 = 16 — 8(a + 5).
\]
Раскрывая скобки, получаем:
\[
D = 16 — 8a — 40 = -24 — 8a.
\]
Для выполнения условия \( D < 0 \) требуется:
\[
-24 — 8a < 0.
\]
Решая данное неравенство, переносим \( -24 \) в правую часть:
\[
-8a < 24.
\]
Делим обе стороны на \( -8 \), меняя знак неравенства:
\[
a > -3.
\]
Таким образом, для выполнения обоих условий необходимо одновременно \( a < -5 \) и \( a > -3 \). Однако такие значения \( a \) не существуют, так как \( a \) не может быть одновременно меньше \( -5 \) и больше \( -3 \). Следовательно, значение \( a \), при котором функция принимает отрицательные значения для всех \( x \), отсутствует.
Ответ: \( a \in \emptyset \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!