ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 107 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) функция \(y = (a — 1)x^2 + 10x + 1\) принимает неотрицательные значения при всех действительных значениях \(x\)?

Дана функция \(y = (a — 1)x^2 + 10x + 1\).

Для того чтобы функция принимала неотрицательные значения при всех \(x \in \mathbb{R}\), необходимо, чтобы:

1) Парабола была направлена вверх: \(a — 1 > 0 \Rightarrow a > 1\).

2) Дискриминант квадратичной функции был меньше или равен нулю (чтобы не было двух разных корней, то есть график не пересекал ось \(x\) в двух точках):

\[
D = 10^2 — 4 (a — 1) \cdot 1 = 100 — 4(a — 1) = 104 — 4a \leq 0
\]

Отсюда:

\[
104 \leq 4a \Rightarrow a \geq 26
\]

Ответ: \(a \in [26; +\infty)\).

1) Рассмотрим функцию \(y = (a — 1)x^{2} + 10x + 1\). Чтобы она принимала неотрицательные значения при всех \(x \in \mathbb{R}\), необходимо, чтобы график функции не пересекал отрицательную часть оси \(y\). Поскольку функция квадратичная, её график — парабола. Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента при \(x^{2}\), то есть от выражения \(a — 1\). Если \(a — 1 > 0\), парабола направлена вверх, и при условии отсутствия корней, при которых \(y < 0\), функция будет неотрицательной. Если \(a — 1 \leq 0\), парабола направлена вниз или вырождается в линейную функцию, что не гарантирует неотрицательность на всей числовой оси.

2) Следующим шагом вычислим дискриминант квадратичной функции, который определяет количество и характер корней уравнения \(y = 0\). Формула дискриминанта: \(D = b^{2} — 4ac\), где \(a = a — 1\), \(b = 10\), \(c = 1\). Подставляем значения: \(D = 10^{2} — 4 \cdot (a — 1) \cdot 1 = 100 — 4a + 4 = 104 — 4a\). Для того чтобы функция не принимала отрицательных значений, парабола должна либо касаться оси \(x\) в одной точке (одинарный корень), либо не пересекать её вовсе. Это возможно, если дискриминант не положителен, то есть \(D \leq 0\).

3) Решаем неравенство \(104 — 4a \leq 0\), которое перепишется как \(104 \leq 4a\), откуда \(a \geq \frac{104}{4} = 26\). Таким образом, для выполнения условия неотрицательности функции необходимо, чтобы \(a \geq 26\). При этом учитываем условие направления ветвей параболы \(a — 1 > 0\), которое автоматически выполняется при \(a \geq 26\). Если \(a = 26\), функция касается оси \(x\) в одной точке, при \(a > 26\) — парабола направлена вверх и не пересекает ось \(x\), следовательно, функция принимает положительные значения для всех \(x\). Итог: множество значений параметра \(a\), при которых функция неотрицательна на всей числовой оси, равно \(a \in [26; +\infty)\).