Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 108 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
При каком значении \(c\) наименьшее значение функции \(y = x^2 — 2x + c\) равно 5?
Дана функция \( y = \frac{1}{3}x^2 — 2x + c \).
Коэффициент при \(x^2\) положительный, значит ветви параболы направлены вверх, и минимум достигается в вершине.
Координата вершины по \(x\): \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{3}} = 3 \).
Подставим \(x_0\) в функцию, чтобы найти ординату вершины (минимум функции):
\( y_0 = \frac{1}{3} \cdot 3^2 — 2 \cdot 3 + c = \frac{1}{3} \cdot 9 — 6 + c = 3 — 6 + c = c — 3 \).
По условию минимум равен 5, значит
\( c — 3 = 5 \Rightarrow c = 8 \).
Рассмотрим функцию \( y = \frac{1}{3}x^{2} — 2x + c \). Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при \( x^{2} \) равен \( \frac{1}{3} \), то есть положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это значит, что функция имеет минимум, и он достигается в вершине параболы. Чтобы найти координаты вершины, используем формулы для вершины квадратичной функции: абсцисса вершины находится по формуле \( x_{0} = -\frac{b}{2a} \), где \( a = \frac{1}{3} \), \( b = -2 \). Подставим значения: \( x_{0} = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{2}{3}} = 3 \). Таким образом, абсцисса вершины равна 3.
Теперь найдем ординату вершины. Для этого подставим значение \( x_{0} = 3 \) в исходную функцию: \( y_{0} = \frac{1}{3} \cdot 3^{2} — 2 \cdot 3 + c = \frac{1}{3} \cdot 9 — 6 + c = 3 — 6 + c = c — 3 \). Ордината вершины — это минимальное значение функции, так как ветви параболы направлены вверх. По условию задачи минимальное значение функции равно 5, следовательно, \( c — 3 = 5 \).
Решая уравнение \( c — 3 = 5 \), получаем \( c = 8 \). Таким образом, параметр \( c \) равен 8, чтобы функция имела минимум, равный 5. Это значение гарантирует, что парабола с уравнением \( y = \frac{1}{3}x^{2} — 2x + 8 \) достигает своего минимального значения именно в точке \( (3, 5) \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.