Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 109 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
При каких значениях \(p\) и \(q\) вершина параболы \(y = x^2 + px + q\) находится в точке \((-6; -43)\)?
Дана функция: \( y = x^2 + px + q \).
Абсцисса вершины параболы:
\( x_0 = -\frac{p}{2} \).
По условию \( x_0 = -6 \), значит
\(-\frac{p}{2} = -6 \Rightarrow p = 12 \).
Ордината вершины параболы:
\( y_0 = q — \frac{p^2}{4} \).
По условию \( y_0 = -43 \), значит
\(-43 = q — \frac{12^2}{4} = q — 36 \Rightarrow q = -7 \).
Ответ: \( p = 12 \), \( q = -7 \).
1) Рассмотрим функцию вида \( y = x^2 + px + q \), где \( p \) и \( q \) — неизвестные коэффициенты, которые нам нужно определить. Эта функция задаёт параболу, график которой имеет вершину — точку максимума или минимума. Для параболы, заданной квадратным трёхчленом, координаты вершины можно найти с помощью формул, выведенных из производной функции. Абсцисса вершины \( x_0 \) равна значению \( x \), при котором производная функции равна нулю. Производная функции \( y = x^2 + px + q \) равна \( y’ = 2x + p \). Приравнивая производную к нулю, получаем уравнение \( 2x + p = 0 \). Решая его относительно \( x \), получаем формулу для абсциссы вершины: \( x_0 = -\frac{p}{2} \).
2) В условии задачи дано, что абсцисса вершины равна \( -6 \). Подставим это значение в формулу: \( -6 = -\frac{p}{2} \). Чтобы найти \( p \), умножим обе части уравнения на \(-2\): \( p = 12 \). Таким образом, мы нашли первый коэффициент функции. Этот шаг очень важен, так как он определяет положение вершины параболы по горизонтали.
3) Теперь найдём ординату вершины параболы — её вертикальную координату \( y_0 \). Для этого воспользуемся формулой, которая выражает значение функции в точке вершины. Подставляя \( x_0 = -\frac{p}{2} \) в исходное уравнение, получаем:
\( y_0 = \left(-\frac{p}{2}\right)^2 + p \cdot \left(-\frac{p}{2}\right) + q \).
Раскроем скобки и упростим выражение:
\( y_0 = \frac{p^2}{4} — \frac{p^2}{2} + q = q — \frac{p^2}{4} \).
По условию задачи ордината вершины равна \( -43 \), следовательно:
\( -43 = q — \frac{12^2}{4} \).
Вычислим квадрат числа 12: \( 12^2 = 144 \), тогда:
\( -43 = q — \frac{144}{4} = q — 36 \).
Чтобы найти \( q \), прибавим 36 к обеим частям уравнения:
\( q = -43 + 36 = -7 \).
Ответ: \( p = 12 \), \( q = -7 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.