Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 110 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Парабола \(y = ax^2 + bx + c\) имеет вершину в точке \(E(4; 8)\) и проходит через точку \(F(2; 1)\). Найдите значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
Вершина параболы \(E(4; 8)\) даёт уравнения:
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = 4 \Rightarrow b = -8a\),
\(y_0 = c — \frac{b^2}{4a} = 8 \Rightarrow c — \frac{(-8a)^2}{4a} = 8 \Rightarrow c — 16a = 8 \Rightarrow c = 8 + 16a\).
Точка \(F(2; 1)\) лежит на графике:
\(1 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 4a + 2b + c = 4a + 2(-8a) + (8 + 16a)=\)
\( = 4a — 16a + 8 + 16a = 4a + 8\).
Отсюда:
\(1 = 4a + 8 \Rightarrow 4a = -7 \Rightarrow a = -\frac{7}{4}\).
Подставляем \(a\) в \(b\) и \(c\):
\(b = -8a = -8 \cdot \left(-\frac{7}{4}\right) = 14\),
\(c = 8 + 16a = 8 + 16 \cdot \left(-\frac{7}{4}\right) = 8 — 28 = -20\).
Ответ: \(a = -\frac{7}{4}\), \(b = 14\), \(c = -20\).
Парабола задана уравнением \(y = ax^2 + bx + c\). Известно, что вершина параболы находится в точке \(E(4; 8)\). Вершина параболы для квадратичной функции находится в точке с координатой по оси \(x\), равной \(x_0 = -\frac{b}{2a}\). Поскольку вершина лежит в точке с абсциссой 4, получаем уравнение \(-\frac{b}{2a} = 4\). Отсюда выразим \(b\) через \(a\): \(b = -8a\).
Координата вершины по оси \(y\) вычисляется по формуле \(y_0 = c — \frac{b^2}{4a}\). Подставляя значения \(b = -8a\) и \(y_0 = 8\), получаем \(8 = c — \frac{(-8a)^2}{4a} = c — \frac{64a^2}{4a} = c — 16a\). Отсюда выразим \(c\): \(c = 8 + 16a\). Таким образом, мы выразили коэффициенты \(b\) и \(c\) через неизвестный \(a\).
Далее, известно, что график функции проходит через точку \(F(2; 1)\), то есть при \(x = 2\) значение функции равно 1. Подставим \(x = 2\) и \(y = 1\) в уравнение: \(1 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 4a + 2b + c\). Подставляя выражения для \(b\) и \(c\), получаем \(1 = 4a + 2(-8a) + (8 + 16a) = 4a — 16a + 8 + 16a = 4a + 8\). Решая уравнение \(1 = 4a + 8\), получаем \(4a = -7\), откуда \(a = -\frac{7}{4}\).
Подставим найденное значение \(a\) в выражения для \(b\) и \(c\): \(b = -8a = -8 \cdot \left(-\frac{7}{4}\right) = 14\), \(c = 8 + 16a = 8 + 16 \cdot \left(-\frac{7}{4}\right) = 8 — 28 = -20\). Таким образом, коэффициенты функции равны \(a = -\frac{7}{4}\), \(b = 14\), \(c = -20\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.