ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 110 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Парабола \(y = ax^2 + bx + c\) имеет вершину в точке \(E(4; 8)\) и проходит через точку \(F(2; 1)\). Найдите значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).

Дана функция: \(y = ax^2 + bx + c\);

1) Вершина параболы лежит в точке \(E(4; 3)\):

\[
x_0 = \frac{-b}{2a} = 4 \quad \Rightarrow \quad b = -8a;
\]

\[
y_0 = \frac{4ac — b^2}{4a} = \frac{4ac — (-8a)^2}{4a} = \frac{4ac — 64a^2}{4a} = 3;
\]

\[
4ac — 64a^2 = 12a \quad \big| : 4a;
\]

\[
c — 16a = 3;
\]

\[
c = 3 + 16a;
\]

2) График функции проходит через точку \(F(2; 1)\):

\[
1 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c;
\]

\[
1 = 4a + 2b + c;
\]

\[
1 = 4a + 2 \cdot (-8a) + (3 + 16a);
\]

\[
1 = 4a — 16a + 3 + 16a;
\]

\[
-2 = 4a;
\]

\[
a = \frac{-2}{4} = -0.5;
\]

\[
b = -8 \cdot (-0.5) = 4;
\]

\[
c = 3 + 16 \cdot (-0.5) = 3 — 8 = -5;
\]

Ответ: \(a = -0.5; \, b = 4; \, c = -5.\)

Дана функция: \(y = ax^2 + bx + c\);

1) Вершина параболы лежит в точке \(E(4; 3)\):

Абсцисса вершины параболы находится по формуле \(x_0 = \frac{-b}{2a}\). Подставляем значение \(x_0 = 4\):

\[
\frac{-b}{2a} = 4 \quad \Rightarrow \quad b = -8a.
\]

Ордината вершины параболы выражается через формулу \(y_0 = \frac{4ac — b^2}{4a}\). Подставляем \(b = -8a\) и \(y_0 = 3\):

\[
y_0 = \frac{4ac — (-8a)^2}{4a} = \frac{4ac — 64a^2}{4a} = 3.
\]

Умножаем обе части уравнения на \(4a\):

\[
4ac — 64a^2 = 12a.
\]

Разделим обе части уравнения на \(4a\):

\[
c — 16a = 3.
\]

Выражаем \(c\):

\[
c = 3 + 16a.
\]

2) График функции проходит через точку \(F(2; 1)\):

Подставляем координаты точки \(F(2; 1)\) в уравнение функции \(y = ax^2 + bx + c\):

\[
1 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c.
\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
1 = 4a + 2b + c.
\]

Подставляем выражения для \(b\) и \(c\) (\(b = -8a\), \(c = 3 + 16a\)):

\[
1 = 4a + 2 \cdot (-8a) + (3 + 16a).
\]

Упрощаем выражение:

\[
1 = 4a — 16a + 3 + 16a.
\]

Сгруппируем подобные члены:

\[
1 = 4a + 3.
\]

Вычитаем \(3\) из обеих частей:

\[
-2 = 4a.
\]

Разделим обе части уравнения на \(4\):

\[
a = \frac{-2}{4} = -0.5.
\]

Найдем \(b\), подставив \(a = -0.5\) в выражение \(b = -8a\):

\[
b = -8 \cdot (-0.5) = 4.
\]

Найдем \(c\), подставив \(a = -0.5\) в выражение \(c = 3 + 16a\):

\[
c = 3 + 16 \cdot (-0.5) = 3 — 8 = -5.
\]

Ответ: \(a = -0.5; \, b = 4; \, c = -5.\)