ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 111 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Постройте график функции:
1) \(y = \frac{|x|}{x}\left(\frac{1}{4}x^2 — x — 3\right)\);
2) \(y = x^2 + 2|x| — 8\);
3) \(y = x^2 + 8x \frac{|x — 3|}{|x — 3|} — 9\);
4) \(y = x^2 + 3|x — 1| — x + 3\).

1) \(y = \frac{|x|}{x}\left(\frac{1}{4}x^2 — x — 3\right)\)

Если \(x > 0\), то \(\frac{|x|}{x} = 1\), значит
\(y = \frac{1}{4}x^2 — x — 3\).

Если \(x < 0\), то \(\frac{|x|}{x} = -1\), значит
\(y = -\left(\frac{1}{4}x^2 — x — 3\right) = -\frac{1}{4}x^2 + x + 3\).

При \(x=0\) функция не определена (деление на ноль).

2) \(y = x^2 + 2|x| — 8\)

Если \(x \geq 0\), то \(y = x^2 + 2x — 8\).
Если \(x < 0\), то \(y = x^2 — 2x — 8\). 3) \(y = x^2 + 8x \frac{|x — 3|}{|x — 3|} — 9\) Если \(x > 3\), \(\frac{|x-3|}{|x-3|} = 1\), значит
\(y = x^2 + 8x — 9\).

3) Если \(x < 3\), \(\frac{|x-3|}{|x-3|} = -1\), значит
\(y = x^2 — 8x — 9\).

При \(x=3\) функция не определена.

4) \(y = x^2 + 3|x — 1| — x + 3\)

Если \(x \geq 1\), то \(y = x^2 + 3(x-1) — x + 3 = x^2 + 2x\).

Если \(x < 1\), то \(y = x^2 + 3(1-x) — x + 3 = x^2 — 4x + 6\).

1) \(y = \frac{|x|}{x}\left(\frac{1}{4}x^{2} — x — 3\right)\)

Число под знаком модуля:

Если \(x > 0\), то \(\frac{|x|}{x} = 1\), значит функция принимает вид
\(y = \frac{1}{4}x^{2} — x — 3\).

Найдём вершину параболы:
\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = 2\),
\(y_{0} = \frac{1}{4} \cdot 2^{2} — 2 — 3 = 1 — 2 — 3 = -4\).

Таблица значений для \(x > 0\):

Если \(x < 0\), то \(\frac{|x|}{x} = -1\), значит
\(y = -\left(\frac{1}{4}x^{2} — x — 3\right) = -\frac{1}{4}x^{2} + x + 3\).

Найдём вершину параболы:
\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = 2\),
\(y_{0} = -\frac{1}{4} \cdot 2^{2} + 2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4\).

Таблица значений для \(x < 0\):

При \(x=0\) функция не определена.

2) \(y = x^{2} + 2|x| — 8\)

Если \(x \geq 0\), то \(y = x^{2} + 2x — 8\).

Найдём вершину параболы:
\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\),
\(y_{0} = (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) — 8 = 1 — 2 — 8 = -9\).

Таблица значений для \(x \geq 0\):

Если \(x < 0\), то \(y = x^{2} — 2x — 8\).

Найдём вершину параболы:
\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1\),
\(y_{0} = 1^{2} — 2 \cdot 1 — 8 = 1 — 2 — 8 = -9\).

Таблица значений для \(x < 0\):

3) \(y = x^{2} + 8x \frac{|x — 3|}{|x — 3|} — 9\)

Если \(x > 3\), то \(\frac{|x — 3|}{|x — 3|} = 1\), значит
\(y = x^{2} + 8x — 9\).

Найдём вершину параболы:
\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 1} = -4\),
\(y_{0} = (-4)^{2} + 8 \cdot (-4) — 9 = 16 — 32 — 9 = -25\).

Таблица значений для \(x > 3\):

Если \(x < 3\), то \(\frac{|x — 3|}{|x — 3|} = -1\), значит
\(y = x^{2} — 8x — 9\).

Найдём вершину параболы:
\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4\),
\(y_{0} = 4^{2} — 8 \cdot 4 — 9 = 16 — 32 — 9 = -25\).

Таблица значений для \(x < 3\):

При \(x=3\) функция не определена.

4) \(y = x^{2} + 3|x — 1| — x + 3\)

Число под знаком модуля:

Если \(x \geq 1\), то
\(y = x^{2} + 3(x — 1) — x + 3 = x^{2} + 2x\).

Найдём вершину параболы:
\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1\),
\(y_{0} = (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) = 1 — 2 = -1\).

Таблица значений для \(x \geq 1\):

Если \(x < 1\), то
\(y = x^{2} + 3(1 — x) — x + 3 = x^{2} — 4x + 6\).

Найдём вершину параболы:
\(x_{0} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\),
\(y_{0} = 2^{2} — 4 \cdot 2 + 6 = 4 — 8 + 6 = 2\).

Таблица значений для \(x < 1\):