Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 112 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — нули функции \(y = 7x^2 — (6a — 5)x + 2a + 3\). При каких значениях \(a\) выполняется неравенство \(x_1 < -1 < x_2\)?
Для функции \( y = 7x^2 — (6a — 5)x + 2a + 3 \) ветви параболы направлены вверх, так как \(7 > 0\).
Нули функции \(x_1\) и \(x_2\) должны лежать по разные стороны от \(-1\), то есть \(x_1 < -1 < x_2\).
Значение функции в точке \(-1\) должно быть отрицательным:
\(7 \cdot (-1)^2 — (6a — 5) \cdot (-1) + 2a + 3 < 0\)
\(7 + 6a — 5 + 2a + 3 < 0\)
\(5 + 8a < 0\)
\(8a < -5\)
\(a < -\frac{5}{8}\)
Ответ: \(a \in (-\infty; -\frac{5}{8})\)
1) Рассмотрим функцию \( y = 7x^{2} — (6a — 5)x + 2a + 3 \). Первым важным моментом является знак коэффициента при \( x^{2} \). В данном случае этот коэффициент равен 7, что больше нуля. Это означает, что парабола, график функции, имеет ветви, направленные вверх. Такая форма параболы гарантирует, что она открыта вверх и достигает минимума в вершине.
2) По условию, нули функции \( x_1 \) и \( x_2 \) должны находиться по обе стороны от точки \( -1 \), то есть должно выполняться неравенство \( x_1 < -1 < x_2 \). Это значит, что при \( x = -1 \) значение функции должно быть отрицательным, так как между двумя корнями парабола принимает значения ниже оси абсцисс (при ветвях вверх). Следовательно, подставим \( x = -1 \) в функцию и потребуем, чтобы результат был меньше нуля: \( y(-1) < 0 \).
3) Подставляя \( x = -1 \), получаем \( y(-1) = 7 \cdot (-1)^{2} — (6a — 5)(-1) + 2a + 3 \). Раскроем скобки и упростим выражение: \( 7 \cdot 1 + (6a — 5) + 2a + 3 = 7 + 6a — 5 + 2a + 3 = 5 + 8a \). Теперь составим неравенство: \( 5 + 8a < 0 \). Вычтем 5 из обеих частей: \( 8a < -5 \). Разделим обе части на 8: \( a < -\frac{5}{8} \). Таким образом, параметр \( a \) должен быть меньше \( -\frac{5}{8} \), чтобы функция имела нули по разные стороны от \( -1 \) и значение функции в точке \( -1 \) было отрицательным.
Ответ: \( a \in (-\infty; -\frac{5}{8}) \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.