ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 113 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(x^2 — 4x — 96 > 0\);

2) \(x^2 + 3x — 28 \leq 0\);

3) \(-x^2 + 2,8x + 0,6 < 0\);

4) \(-3x^2 + 7x + 6 < 0\);

5) \(3x^2 + 18x \geq 0\);

6) \(25x^2 — 16 < 0\);

7) \(49x^2 + 14x + 1 > 0\);

8) \(x^2 — 16x + 64 \geq 0\);

9) \(3x^2 + 2x + 4 > 0\);

10) \(4x^2 — 4x + 1 \leq 0\);

11) \(4x^2 — 60x + 225 < 0\);

12) \(2x^2 + x + 3 \leq 0\).

1) \(x \in (-\infty; -8) \cup (12; +\infty)\)
2) \(x \in [-7; 4]\)
3) \(x \in (-\infty; -0,2) \cup (3; +\infty)\)
4) \(x \in (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (3; +\infty)\)
5) \(x \in (-\infty; -6] \cup [0; +\infty)\)
6) \(x \in (-0,8; 0,8)\)
7) \(x \in (-\infty; -\frac{1}{7}) \cup (-\frac{1}{7}; +\infty)\)
8) \(x \in (-\infty; +\infty)\)
9) \(x \in (-\infty; +\infty)\)
10) \(x = 0,5\)
11) \(x \in \emptyset\)
12) \(x \in \emptyset\)

1) Решим неравенство \(x^2 — 4x — 96 > 0\).
Вычислим дискриминант: \(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400\).
Найдём корни: \(x_1 = \frac{4 — 20}{2} = -8\), \(x_2 = \frac{4 + 20}{2} = 12\).
Неравенство принимает вид \((x + 8)(x — 12) > 0\), значит \(x < -8\) или \(x > 12\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -8) \cup (12; +\infty)\).

2) Решим \(x^2 + 3x — 28 \leq 0\).
Дискриминант: \(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121\).
Корни: \(x_1 = \frac{-3 — 11}{2} = -7\), \(x_2 = \frac{-3 + 11}{2} = 4\).
Неравенство: \((x + 7)(x — 4) \leq 0\), значит \(-7 \leq x \leq 4\).
Ответ: \(x \in [-7; 4]\).

3) Решим \(-x^2 + 2,8x + 0,6 < 0\).
Домножим на \(-5\), меняя знак неравенства: \(5x^2 — 14x — 3 > 0\).
Дискриминант: \(D = (-14)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256\).
Корни: \(x_1 = \frac{14 — 16}{2 \cdot 5} = -0,2\), \(x_2 = \frac{14 + 16}{10} = 3\).
Неравенство: \((x + 0,2)(x — 3) > 0\), значит \(x < -0,2\) или \(x > 3\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -0,2) \cup (3; +\infty)\).

4) Решим \(-3x^2 + 7x + 6 < 0\).
Домножим на \(-1\), меняя знак: \(3x^2 — 7x — 6 > 0\).
Дискриминант: \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121\).
Корни: \(x_1 = \frac{7 — 11}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{7 + 11}{6} = 3\).
Неравенство: \((x + \frac{2}{3})(x — 3) > 0\), значит \(x < -\frac{2}{3}\) или \(x > 3\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (3; +\infty)\).

5) Решим \(3x^2 + 18x \geq 0\).
Вынесем \(x\): \(x(3x + 18) \geq 0\), или \(x(x + 6) \geq 0\).
Корни: \(x = 0\) и \(x = -6\).
Знак произведения неотрицателен при \(x \leq -6\) или \(x \geq 0\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -6] \cup [0; +\infty)\).

6) Решим \(25x^2 — 16 < 0\).
Разложим: \((5x — 4)(5x + 4) < 0\).
Корни: \(x = \frac{4}{5} = 0,8\) и \(x = -\frac{4}{5} = -0,8\).
Произведение отрицательно между корнями: \(-0,8 < x < 0,8\).
Ответ: \(x \in (-0,8; 0,8)\).

7) Решим \(49x^2 + 14x + 1 > 0\).
Выделим квадрат: \((7x + 1)^2 > 0\).
Равенство нулю при \(x = -\frac{1}{7}\).
Неравенство истинно при всех \(x\), кроме \(x = -\frac{1}{7}\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{7}) \cup (-\frac{1}{7}; +\infty)\).

8) Решим \(x^2 — 16x + 64 \geq 0\).
Выделим квадрат: \((x — 8)^2 \geq 0\).
Квадрат всегда неотрицателен для всех \(x\).
Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).

9) Решим \(3x^2 + 2x + 4 > 0\).
Дискриминант: \(D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 4 — 48 = -44 < 0\).
Парабола вверх, корней нет, значит выражение всегда положительно.
Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).

10) Решим \(4x^2 — 4x + 1 \leq 0\).
Выделим квадрат: \((2x — 1)^2 \leq 0\).
Равенство нулю при \(x = \frac{1}{2} = 0,5\).
Ответ: \(x = 0,5\).

11) Решим неравенство \(x^2 + 1 < 0\).
Квадрат любого числа неотрицателен, а \(+1\) делает выражение строго положительным.
Значит, нет ни одного \(x\), при котором выражение меньше нуля.
Ответ: \(x \in \emptyset\).

12) Решим неравенство \(x^2 + 4x + 5 < 0\).
Дискриминант: \(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4 < 0\).
Парабола направлена вверх, корней нет, выражение всегда положительно.
Значит, нет решений.
Ответ: \(x \in \emptyset\).