ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 115 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите множество решений неравенства:
1) \((2x + 1)(x — 4) \leq 5\);
2) \((x — 4)^2 + 12 \geq (3x — 2)^2\);
3) \(\frac{x^2 — 9}{5} — \frac{x + 1}{4} \geq \frac{x — 5}{2}\);
4) \(\frac{x^2 + x}{8} — \frac{3 — x}{3} \leq \frac{2x^2 + 5}{5} — 2\).

1) Решение: \( (2x+1)(x-4) \leq 5 \)
Раскрываем скобки, переносим всё в одну сторону и решаем квадратное неравенство:
\( 2x^2 — 7x — 9 \leq 0 \)
Корни: \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 4.5 \)
Ответ: \( x \in [-1; 4.5] \)

2) Решение: \( (x-4)^2 + 12 \geq (3x-2)^2 \)
Приводим к квадратному неравенству:
\( 2x^2 — x — 6 \leq 0 \)
Корни: \( x_1 = -1.5 \), \( x_2 = 2 \)
Ответ: \( x \in [-1.5; 2] \)

3) Решение: \( \frac{x^2 — 9}{5} — \frac{x + 1}{4} \geq \frac{x — 5}{2} \)
Домножаем на 20 и решаем:
\( 4x^2 — 15x + 9 \geq 0 \)
Корни: \( x_1 = 0.75 \), \( x_2 = 3 \)
Ответ: \( x \in (-\infty; 0.75] \cup [3; +\infty) \)

4) Решение: \( \frac{x^2 + x}{8} — \frac{3 — x}{3} \leq \frac{2x^2 + 5}{5} — 2 \)
Домножаем на 120 и решаем:
\( 3x^2 — 5x > 0 \)
Корни: \( x = 0 \), \( x = \frac{5}{3} \)
Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \cup \left(\frac{5}{3}; +\infty\right) \)

1)
Дано неравенство: \( (2x + 1)(x — 4) \leq 5 \).
Раскроем скобки: \( 2x^2 — 8x + x — 4 \leq 5 \),
что даёт \( 2x^2 — 7x — 9 \leq 0 \).
Найдём дискриминант:
\( D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 \).
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{7 — 11}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \),
\( x_2 = \frac{7 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = 4.5 \).
Неравенство выполняется между корнями:
\( -1 \leq x \leq 4.5 \).
Ответ: \( x \in [-1; 4.5] \).

2)
Дано: \( (x — 4)^2 + 12 \geq (3x — 2)^2 \).
Раскроем скобки:
\( x^2 — 8x + 16 + 12 \geq 9x^2 — 12x + 4 \),
что даёт
\( x^2 — 8x + 28 \geq 9x^2 — 12x + 4 \).
Переносим всё в одну сторону:
\( 0 \geq 9x^2 — 12x + 4 — x^2 + 8x — 28 \),
\( 0 \geq 8x^2 — 4x — 24 \),
или
\( 8x^2 — 4x — 24 \leq 0 \).
Разделим на 4:
\( 2x^2 — x — 6 \leq 0 \).
Вычислим дискриминант:
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 \).
Корни:
\( x_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5 \),
\( x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \).
Ответ: \( x \in [-1.5; 2] \).

3)
Дано: \( \frac{x^2 — 9}{5} — \frac{x + 1}{4} \geq \frac{x — 5}{2} \).
Домножим на 20 (наименьший общий знаменатель):
\( 4(x^2 — 9) — 5(x + 1) \geq 10(x — 5) \),
\( 4x^2 — 36 — 5x — 5 \geq 10x — 50 \),
\( 4x^2 — 5x — 41 \geq 10x — 50 \).
Переносим всё в левую часть:
\( 4x^2 — 5x — 41 — 10x + 50 \geq 0 \),
\( 4x^2 — 15x + 9 \geq 0 \).
Вычисляем дискриминант:
\( D = (-15)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 — 144 = 81 \).
Корни:
\( x_1 = \frac{15 — 9}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = 0.75 \),
\( x_2 = \frac{15 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3 \).
Неравенство \( \geq 0 \) выполняется вне интервала между корнями:
\( x \leq 0.75 \) или \( x \geq 3 \).
Ответ: \( x \in (-\infty; 0.75] \cup [3; +\infty) \).

4)
Дано: \( \frac{x^2 + x}{8} — \frac{3 — x}{3} \leq \frac{2x^2 + 5}{5} — 2 \).
Домножим на 120 (наименьший общий знаменатель):
\( 15(x^2 + x) — 40(3 — x) \leq 24(2x^2 + 5) — 240 \),
\( 15x^2 + 15x — 120 + 40x \leq 48x^2 + 120 — 240 \),
\( 15x^2 + 55x — 120 \leq 48x^2 — 120 \).
Переносим всё в левую часть:
\( 15x^2 + 55x — 120 — 48x^2 + 120 \leq 0 \),
\( -33x^2 + 55x \leq 0 \),
или
\( 33x^2 — 55x \geq 0 \).
Вынесем \( x \):
\( x(33x — 55) \geq 0 \),
\( x(3x — 5) \geq 0 \).
Корни: \( x = 0 \), \( x = \frac{5}{3} \).
Решение: \( x \in (-\infty; 0) \cup \left(\frac{5}{3}; +\infty\right) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \cup \left(\frac{5}{3}; +\infty\right) \).