ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 116 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите целые решения неравенства:
1) \(x^2 — 7x \leq 0\);
2) \(x^2 — 20 < 0\);

3) \(-8x^2 + 13x + 6 \geq 0\);

4) \(12x^2 — 13x + 3 \leq 0\);

5) \(-\frac{1}{2}x^2 + x + 24 > 0\);
6) \(x^2 — 4,6x — 2 \leq 0\).

1) \(x^2 — 7x \leq 0 \Rightarrow x(x-7) \leq 0 \Rightarrow 0 \leq x \leq 7\)
Ответ: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\).

2) \(x^2 — 20 < 0 \Rightarrow -\sqrt{20} < x < \sqrt{20}\) Целые: \(-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\).

3) \(-8x^2 + 13x + 6 \geq 0 \Rightarrow 8x^2 — 13x — 6 \leq 0\) Корни: \(x_1 = -\frac{3}{8}, x_2 = 2\), Интервал: \(-\frac{3}{8} \leq x \leq 2\), Целые: \(0, 1, 2\).

4) \(12x^2 — 13x + 3 \leq 0\) Корни: \(x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = \frac{3}{4}\), Интервал: \(\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{3}{4}\), Целых решений нет.

5) \(-\frac{1}{2}x^2 + x + 24 > 0 \Rightarrow x^2 — 2x — 48 < 0\)
Корни: \(x_1 = -6, x_2 = 8\),
Интервал: \(-6 < x < 8\),
Целые: \(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\).

6) \(x^2 — 4,6x — 2 \leq 0 \Rightarrow 5x^2 — 23x — 10 \leq 0\)
Корни: \(x_1 = -0,4, x_2 = 5\),
Интервал: \(-0,4 \leq x \leq 5\),
Целые: \(0, 1, 2, 3, 4, 5\).

1) Решаем неравенство \(x^2 — 7x \leq 0\).
Вынесем общий множитель: \(x(x — 7) \leq 0\).
Корни уравнения: \(x = 0\) и \(x = 7\).
Проанализируем знак произведения: оно будет меньше или равно нулю, если \(x\) лежит между корнями, включая их.
Получаем интервал \(0 \leq x \leq 7\).
Целые решения: \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\).

2) Решаем неравенство \(x^2 — 20 < 0\).
Перепишем как \((x + 2\sqrt{5})(x — 2\sqrt{5}) < 0\).
Корни: \(x = -2\sqrt{5}\) и \(x = 2\sqrt{5}\).
Числовые приближения: \(-4.47 < x < 4.47\). Целые решения: \(-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\).

3) Решаем неравенство \(-8x^2 + 13x + 6 \geq 0\). Умножаем обе части на \(-1\) (знак неравенства меняется): \(8x^2 — 13x — 6 \leq 0\). Вычисляем дискриминант: \(D = (-13)^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-6) = 169 + 192 = 361\). Корни: \(x_1 = \frac{13 — 19}{2 \cdot 8} = \frac{-6}{16} = -\frac{3}{8}\), \(x_2 = \frac{13 + 19}{16} = \frac{32}{16} = 2\). Интервал решения: \(-\frac{3}{8} \leq x \leq 2\). Целые решения: \(0, 1, 2\).

4) Решаем неравенство \(12x^2 — 13x + 3 \leq 0\). Вычисляем дискриминант: \(D = (-13)^2 — 4 \cdot 12 \cdot 3 = 169 — 144 = 25\). Корни: \(x_1 = \frac{13 — 5}{2 \cdot 12} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}\), \(x_2 = \frac{13 + 5}{24} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}\). Интервал решения: \(\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{3}{4}\). Целых решений нет.

5) Решаем неравенство \(-\frac{1}{2}x^2 + x + 24 > 0\).
Умножаем на \(-2\) (знак меняется):
\(x^2 — 2x — 48 < 0\).
Вычисляем дискриминант:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196\).
Корни:
\(x_1 = \frac{2 — 14}{2} = -6\),
\(x_2 = \frac{2 + 14}{2} = 8\).
Интервал решения: \(-6 < x < 8\).
Целые решения: \(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\).

6) Решаем неравенство \(x^2 — 4.6x — 2 \leq 0\).
Умножаем на 5:
\(5x^2 — 23x — 10 \leq 0\).
Вычисляем дискриминант:
\(D = (-23)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 529 + 200 = 729\).
Корни:
\(x_1 = \frac{23 — 27}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -0.4\),
\(x_2 = \frac{23 + 27}{10} = \frac{50}{10} = 5\).
Интервал решения: \(-0.4 \leq x \leq 5\).
Целые решения: \(0, 1, 2, 3, 4, 5\).