ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 117 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:
1) \(y = \sqrt{x^2 + 7x — 18}\);
2) \(y = \frac{3x — 7}{\sqrt{5x + 10x^2}}\);
3) \(y = \sqrt{2x^2 — 5x + 2} + \frac{8}{x^2 — 9}\);
4) \(y = \frac{x + 14}{\sqrt{12 — 17x — 7x^2}} — \frac{x — 14}{3x^2 + 5x — 2}\).

1) \(x^2 + 7x — 18 \geq 0\), корни: \(x_1 = -9\), \(x_2 = 2\), область определения: \(x \in (-\infty; -9] \cup [2; +\infty)\).

2) \(5x + 10x^2 > 0\), или \(x(2x+1) > 0\), область определения: \(x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (0; +\infty)\).

3) \(2x^2 — 5x + 2 \geq 0\), корни: \(x_1 = 0.5\), \(x_2 = 2\), и \(x^2 — 9 \neq 0\), значит \(x \neq \pm 3\), область определения: \(x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0.5] \cup [2; 3) \cup (3; +\infty)\).

4) \(12 — 17x — 7x^2 > 0\), корни: \(x_1 = -3\), \(x_2 = \frac{4}{7}\), и \(3x^2 + 5x — 2 \neq 0\), корни знаменателя: \(x \neq -2\), \(x \neq \frac{1}{3}\), область определения: \(x \in (-3; -2) \cup (-2; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; \frac{4}{7})\).

1) \(y = \sqrt{x^2 + 7x — 18}\).
Выражение под корнем должно быть неотрицательно:
\(x^2 + 7x — 18 \geq 0\).
Найдем дискриминант:
\(D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121\).
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-7 — 11}{2} = -9\),
\(x_2 = \frac{-7 + 11}{2} = 2\).
Распишем знак выражения:
\((x + 9)(x — 2) \geq 0\).
Это верно при \(x \leq -9\) или \(x \geq 2\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -9] \cup [2; +\infty)\).

2) \(y = \frac{3x — 7}{\sqrt{5x + 10x^2}}\).
Подкоренное выражение должно быть строго положительным:
\(5x + 10x^2 > 0\).
Вынесем общий множитель:
\(5x(1 + 2x) > 0\).
Рассмотрим знаки множителей:
\(x > 0\) и \(1 + 2x > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}\).
Объединяя условия:
\(x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (0; +\infty)\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -0.5) \cup (0; +\infty)\).

3) \(y = \sqrt{2x^2 — 5x + 2} + \frac{8}{x^2 — 9}\).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
\(2x^2 — 5x + 2 \geq 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9\).
Корни:
\(x_1 = \frac{5 — 3}{4} = 0.5\),
\(x_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2\).
Знак выражения:
\((x — 0.5)(x — 2) \geq 0\), значит \(x \leq 0.5\) или \(x \geq 2\).
Знаменатель не должен быть равен нулю:
\(x^2 — 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0.5] \cup [2; 3) \cup (3; +\infty)\).

4) \(y = \frac{x + 14}{\sqrt{12 — 17x — 7x^2}} — \frac{x — 14}{3x^2 + 5x — 2}\).
Подкоренное выражение должно быть строго положительным:
\(12 — 17x — 7x^2 > 0\), или
\(-7x^2 — 17x + 12 > 0\).
Умножим на \(-1\) (знак неравенства меняется):
\(7x^2 + 17x — 12 < 0\). Вычислим дискриминант: \(D = 17^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-12) = 289 + 336 = 625\). Корни: \(x_1 = \frac{-17 - 25}{2 \cdot 7} = \frac{-42}{14} = -3\), \(x_2 = \frac{-17 + 25}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}\). Знак выражения: \((x + 3)(x - \frac{4}{7}) < 0\), значит \(-3 < x < \frac{4}{7}\). Знаменатель не должен быть равен нулю: \(3x^2 + 5x - 2 \neq 0\). Вычислим дискриминант: \(D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49\). Корни: \(x_1 = \frac{-5 - 7}{6} = -2\), \(x_2 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{1}{3}\). Ответ: \(x \in (-3; -2) \cup (-2; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; \frac{4}{7})\).