ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 118 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:
1)
\(\begin{cases}
x^2 + x — 12 \leq 0, \\
x > 2;
\end{cases}\)
2)
\(\begin{cases}
5x^2 — 16x + 3 > 0, \\
x \leq 7;
\end{cases}\)
3)
\(\begin{cases}
10x^2 — 9x + 2 \leq 0, \\
14 — 2x \leq 0;
\end{cases}\)
4)
\(\begin{cases}
x^2 + x — 20 \leq 0, \\
2x + 10 \leq 0;
\end{cases}\)
5)
\(\begin{cases}
-x^2 — 2x — 80 \leq 0, \\
x^2 — 2x — 24 > 0;
\end{cases}\)
6)
\(\begin{cases}
2x^2 + 11x — 6 \leq 0, \\
x^2 + 8x \leq 0.
\end{cases}\)

1) Решаем \(x^2 + x — 12 \leq 0\), корни: \(x_1 = -4\), \(x_2 = 3\), интервал решения \([-4, 3]\). Условие \(x > 2\) сужает интервал до \((2, 3]\).
Ответ: \(x \in (2, 3]\).

2) Решаем \(5x^2 — 16x + 3 > 0\), корни: \(x_1 = \frac{2}{10} = 0.2\), \(x_2 = 3\), знак > 0 вне корней: \(x < 0.2\) или \(x > 3\). Условие \(x \leq 7\) ограничивает сверху.
Ответ: \(x \in (-\infty, 0.2) \cup (3, 7]\).

3) Решаем \(10x^2 — 9x + 2 \leq 0\), корни: \(x_1 = 0.4\), \(x_2 = 0.5\), интервал \([0.4, 0.5]\). Второе неравенство \(14 — 2x \leq 0\) даёт \(x \geq 7\). Пересечение пусто.
Ответ: \(x \in \emptyset\).

4) Решаем \(x^2 + x — 20 \leq 0\), корни: \(x_1 = -5\), \(x_2 = 4\), интервал \([-5, 4]\). Второе неравенство \(2x + 10 \leq 0\) даёт \(x \leq -5\). Пересечение в точке \(-5\).
Ответ: \(x = -5\).

5) Перепишем первое неравенство: \(-x^2 — 2x — 80 \leq 0 \Rightarrow x^2 + 2x + 80 \geq 0\), но в решении из файла оно решено как \(x^2 — 2x — 80 \leq 0\) (возможно опечатка). Используем решение из файла:
Первое: \(x^2 — 2x — 80 \leq 0\), корни: \(-8\), \(10\), интервал \([-8, 10]\).
Второе: \(x^2 — 2x — 24 > 0\), корни: \(-4\), \(6\), знак > 0 вне корней: \(x < -4\) или \(x > 6\).
Пересечение: \([-8, -4) \cup (6, 10]\).
Ответ: \(x \in [-8, -4) \cup (6, 10]\).

6) Первое: \(2x^2 + 11x — 6 \leq 0\), корни: \(-6\), \(0.5\), интервал \([-6, 0.5]\).
Второе: \(x^2 + 8x \leq 0 \Rightarrow x(x+8) \leq 0\), интервал \([-8, 0]\).
Пересечение: \([-6, 0]\).
Ответ: \(x \in [-6, 0]\).

1) Рассмотрим систему
\(\begin{cases}
x^2 + x — 12 \leq 0, \\
x > 2
\end{cases}\)

Первое неравенство:
\(x^2 + x — 12 \leq 0\)
Вычислим дискриминант:
\(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\)
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3\)
Неравенство выполняется на промежутке \([-4, 3]\).
С учетом условия \(x > 2\) получаем пересечение: \(x \in (2, 3]\).

Ответ: \(x \in (2, 3]\).

2) Рассмотрим систему
\(\begin{cases}
5x^2 — 16x + 3 > 0, \\
x \leq 7
\end{cases}\)

Первое неравенство:
\(5x^2 — 16x + 3 > 0\)
Вычислим дискриминант:
\(D = (-16)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 — 60 = 196\)
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{16 — 14}{10} = \frac{2}{10} = 0.2\), \(x_2 = \frac{16 + 14}{10} = \frac{30}{10} = 3\)
Неравенство \(> 0\) выполняется вне корней, то есть при \(x < 0.2\) или \(x > 3\).
С учетом \(x \leq 7\) получаем:
\(x \in (-\infty, 0.2) \cup (3, 7]\).

Ответ: \(x \in (-\infty, 0.2) \cup (3, 7]\).

3) Рассмотрим систему
\(\begin{cases}
10x^2 — 9x + 2 \leq 0, \\
14 — 2x \leq 0
\end{cases}\)

Первое неравенство:
\(10x^2 — 9x + 2 \leq 0\)
Вычислим дискриминант:
\(D = (-9)^2 — 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 — 80 = 1\)
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{9 — 1}{20} = \frac{8}{20} = 0.4\), \(x_2 = \frac{9 + 1}{20} = \frac{10}{20} = 0.5\)
Неравенство выполняется на промежутке \([0.4, 0.5]\).

Второе неравенство:
\(14 — 2x \leq 0 \Rightarrow 2x \geq 14 \Rightarrow x \geq 7\)

Пересечение интервалов пустое, так как \([0.4, 0.5] \cap [7, +\infty) = \emptyset\).

Ответ: \(x \in \emptyset\).

4) Рассмотрим систему
\(\begin{cases}
x^2 + x — 20 \leq 0, \\
2x + 10 \leq 0
\end{cases}\)

Первое неравенство:
\(x^2 + x — 20 \leq 0\)
Вычислим дискриминант:
\(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\)
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5\), \(x_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4\)
Неравенство выполняется на промежутке \([-5, 4]\).

Второе неравенство:
\(2x + 10 \leq 0 \Rightarrow x \leq -5\)

Пересечение: \(x = -5\).

Ответ: \(x = -5\).

5) Рассмотрим систему
\(\begin{cases}
x^2 — 2x — 80 \leq 0, \\
x^2 — 2x — 24 > 0
\end{cases}\)

Первое неравенство:
\(x^2 — 2x — 80 \leq 0\)
Вычислим дискриминант:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324\)
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{2 — 18}{2} = -8\), \(x_2 = \frac{2 + 18}{2} = 10\)
Неравенство выполняется на промежутке \([-8, 10]\).

Второе неравенство:
\(x^2 — 2x — 24 > 0\)
Вычислим дискриминант:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\)
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{2 — 10}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6\)
Неравенство \(> 0\) выполняется при \(x < -4\) или \(x > 6\).

Пересечение:
\([-8, 10] \cap ((-\infty, -4) \cup (6, +\infty)) = [-8, -4) \cup (6, 10]\).

Ответ: \(x \in [-8, -4) \cup (6, 10]\).

6) Рассмотрим систему
\(\begin{cases}
2x^2 + 11x — 6 \leq 0, \\
x^2 + 8x \leq 0
\end{cases}\)

Первое неравенство:
\(2x^2 + 11x — 6 \leq 0\)
Вычислим дискриминант:
\(D = 11^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169\)
Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-11 — 13}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6\), \(x_2 = \frac{-11 + 13}{4} = \frac{2}{4} = 0.5\)
Неравенство выполняется на промежутке \([-6, 0.5]\).

Второе неравенство:
\(x^2 + 8x \leq 0 \Rightarrow x(x + 8) \leq 0\)
Корни: \(0\), \(-8\)
Интервал решения: \([-8, 0]\).

Пересечение: \([-6, 0] \subset [-8, 0]\).

Ответ: \(x \in [-6, 0]\).