ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 120 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите, при каких значениях \(a\) не имеет корней уравнение:
1) \(x^2 — (a + 5)x + 9 = 0\);
2) \((a — 2)x^2 + 5ax — 3a = 0\);
3) \((6a — 12)x^2 — (6a — 12)x + 5 = 0\);
4) \((a — 3)x^2 — 2(a + 2)x + 2a — 6,5 = 0\).

1) Уравнение не имеет корней, если дискриминант \(D < 0\):
\(D = (a+5)^2 — 4 \cdot 9 = a^2 + 10a + 25 — 36 = a^2 + 10a — 11\).
Решаем неравенство:
\(a^2 + 10a — 11 < 0\).
Корни:
\(a_1 = -11\), \(a_2 = 1\).
Ответ: \(a \in (-11; 1)\).

2) Уравнение не имеет корней, если дискриминант \(D < 0\):
\(D = (5a)^2 + 4(a-2)(-3a) = 25a^2 — 12a^2 + 24a = 13a^2 + 24a\).
Исправим: из условия \(D = 25a^2 + 12a^2 — 24a = 37a^2 — 24a\).
Решаем:
\(37a^2 — 24a < 0\),
\(a(37a — 24) < 0\),
\(0 < a < \frac{24}{37}\).
Уравнение становится линейным при \(a=2\), что не входит в интервал.
Ответ: \(a \in (0; \frac{24}{37})\).

3) Дискриминант:
\(D = (6a-12)^2 — 4 \cdot (6a-12) \cdot 5 = 36a^2 — 144a + 144 — 120a + 240 =\)
\(= 36a^2 — 264a + 384\).
Делим на 12:
\(3a^2 — 22a + 32 < 0\). Корни: \(a_1 = 2\), \(a_2 = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}\). Ответ: \(a \in (2; 5\frac{1}{3})\). 4) Дискриминант: \(D = (-4a^2 + 66a — 62)\). Умножаем неравенство на \(-1\) и меняем знак: \(4a^2 — 66a + 62 > 0\).
Делим на 2:
\(2a^2 — 33a + 31 > 0\).
Корни:
\(a_1 = 1\), \(a_2 = 15.5\).
Ответ: \(a \in (-\infty; 1) \cup (15.5; +\infty)\).

1) Дано уравнение \(x^2 — (a + 5)x + 9 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (a + 5)^2 — 4 \cdot 9 = a^2 + 10a + 25 — 36 = a^2 + 10a — 11\).
Уравнение не имеет корней, если \(D < 0\):
\(a^2 + 10a — 11 < 0\).
Найдем корни квадратного уравнения \(a^2 + 10a — 11 = 0\) по формуле:
\(a_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-11)}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 44}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-10 \pm 12}{2}\).
Получаем:
\(a_1 = \frac{-10 — 12}{2} = -11\),
\(a_2 = \frac{-10 + 12}{2} = 1\).
Неравенство \(a^2 + 10a — 11 < 0\) выполняется на интервале между корнями:
\(-11 < a < 1\).
Ответ: \(a \in (-11; 1)\).

2) Дано уравнение \((a — 2)x^2 + 5ax — 3a = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (5a)^2 — 4 \cdot (a — 2) \cdot (-3a) = 25a^2 + 12a^2 — 24a = 37a^2 — 24a\).
Уравнение не имеет корней, если \(D < 0\):
\(37a^2 — 24a < 0\).
Вынесем \(a\) за скобки:
\(a(37a — 24) < 0\).
Рассмотрим знаки множителей:
Первый множитель \(a\) меняет знак в 0, второй — в \(\frac{24}{37}\).
Неравенство выполняется при:
\(0 < a < \frac{24}{37}\).
Уравнение становится линейным, если коэффициент при \(x^2\) равен нулю:
\(a — 2 = 0 \Rightarrow a = 2\), что не входит в интервал.
Ответ: \(a \in (0; \frac{24}{37})\).

3) Дано уравнение \((6a — 12)x^2 — (6a — 12)x + 5 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (6a — 12)^2 — 4 \cdot (6a — 12) \cdot 5 = 36a^2 — 144a + 144 — 120a + 240=\)
\( = 36a^2 — 264a + 384\).
Поделим неравенство \(D < 0\) на 12:
\(3a^2 — 22a + 32 < 0\).
Найдем корни уравнения \(3a^2 — 22a + 32 = 0\):
\(a_{1,2} = \frac{22 \pm \sqrt{22^2 — 4 \cdot 3 \cdot 32}}{2 \cdot 3} = \frac{22 \pm \sqrt{484 — 384}}{6} = \frac{22 \pm 10}{6}\).
Получаем:
\(a_1 = \frac{22 — 10}{6} = 2\),
\(a_2 = \frac{22 + 10}{6} = \frac{32}{6} = 5 \frac{1}{3}\).
Неравенство \(3a^2 — 22a + 32 < 0\) выполняется на интервале между корнями:
\(2 < a < 5 \frac{1}{3}\).
Уравнение становится линейным, если:
\(6a — 12 = 0 \Rightarrow a = 2\), что исключается из интервала.
Ответ: \(a \in (2; 5 \frac{1}{3})\).

4) Дано уравнение \((a — 3)x^2 — 2(a + 2)x + 2a — 6.5 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-2(a+2))^2 — 4 \cdot (a — 3) \cdot (2a — 6.5) = 4(a^2 + 4a + 4) — 4(2a^2 -\)
\(- 6.5a — 6a + 19.5)\).
Раскроем скобки:
\(D = 4a^2 + 16a + 16 — 8a^2 + 50a — 78 = -4a^2 + 66a — 62\).
Уравнение не имеет корней, если \(D < 0\):
\(-4a^2 + 66a — 62 < 0\). Умножим неравенство на \(-1\) и поменяем знак: \(4a^2 — 66a + 62 > 0\).
Поделим на 2:
\(2a^2 — 33a + 31 > 0\).
Найдем корни уравнения \(2a^2 — 33a + 31 = 0\):
\(a_{1,2} = \frac{33 \pm \sqrt{33^2 — 4 \cdot 2 \cdot 31}}{2 \cdot 2} = \frac{33 \pm \sqrt{1089 — 248}}{4} = \frac{33 \pm \sqrt{841}}{4} = \frac{33 \pm 29}{4}\).
Получаем:
\(a_1 = \frac{33 — 29}{4} = 1\),
\(a_2 = \frac{33 + 29}{4} = 15.5\).
Неравенство \(2a^2 — 33a + 31 > 0\) выполняется при:
\(a < 1\) или \(a > 15.5\).
Уравнение становится линейным, если:
\(a — 3 = 0 \Rightarrow a = 3\), что не входит в интервалы.
Ответ: \(a \in (-\infty; 1) \cup (15.5; +\infty)\).