Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 121 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
При каких значениях \(b\) имеет два различных действительных корня уравнение:
1) \(x^2 — 3bx + 2b + 5 = 0\);
2) \(bx^2 + (7b + 2)x + b = 0\);
3) \((b + 2)x^2 + (3b + 1)x — b — 1 = 0\);
4) \((2b + 10)x^2 — (4b + 8)x + 3b = 0\)?
1) \(b \in (-\infty; -\frac{1}{9}) \cup (2; +\infty)\)
2) \(b \in (-\infty; -\frac{2}{5}) \cup (-\frac{2}{9}; 0) \cup (0; +\infty)\)
3) \(b \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\)
4) \(b \in (-8; -5) \cup (-5; 1)\)
1) Уравнение: \(x^{2} — 3bx + 2b + 5 = 0\).
Дискриминант: \(D = (3b)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (2b + 5) = 9b^{2} — 8b — 20\).
Уравнение имеет два различных корня, если \(D > 0\):
\(9b^{2} — 8b — 20 > 0\).
Найдем корни квадратного неравенства:
\(D_b = (-8)^{2} — 4 \cdot 9 \cdot (-20) = 64 + 720 = 784\),
\(b_{1} = \frac{8 — 28}{2 \cdot 9} = \frac{-20}{18} = -\frac{10}{9} = -1 \frac{1}{9}\),
\(b_{2} = \frac{8 + 28}{2 \cdot 9} = \frac{36}{18} = 2\).
Решение неравенства:
\((b + 1 \frac{1}{9})(b — 2) > 0\),
значит
\(b < -1 \frac{1}{9}\) или \(b > 2\).
Ответ: \(b \in (-\infty; -\frac{10}{9}) \cup (2; +\infty)\).
2) Уравнение: \(bx^{2} + (7b + 2)x + b = 0\).
Дискриминант: \(D = (7b + 2)^{2} — 4 \cdot b \cdot b = 49b^{2} + 28b + 4 — 4b^{2} = 45b^{2} + 28b + 4\).
Уравнение имеет два различных корня, если \(D > 0\):
\(45b^{2} + 28b + 4 > 0\).
Найдем корни квадратного неравенства:
\(D_b = 28^{2} — 4 \cdot 45 \cdot 4 = 784 — 720 = 64\),
\(b_{1} = \frac{-28 — 8}{2 \cdot 45} = \frac{-36}{90} = -\frac{2}{5}\),
\(b_{2} = \frac{-28 + 8}{2 \cdot 45} = \frac{-20}{90} = -\frac{2}{9}\).
Решение неравенства:
\((b + \frac{2}{5})(b + \frac{2}{9}) > 0\),
значит
\(b < -\frac{2}{5}\) или \(b > -\frac{2}{9}\).
Уравнение становится линейным, если \(b = 0\).
Ответ: \(b \in (-\infty; -\frac{2}{5}) \cup (-\frac{2}{9}; 0) \cup (0; +\infty)\).
3) Уравнение: \((b + 2)x^{2} + (3b + 1)x — b — 1 = 0\).
Дискриминант: \(D = (3b + 1)^{2} — 4 \cdot (b + 2) \cdot (-b — 1)\).
Раскроем скобки:
\(D = 9b^{2} + 6b + 1 + 4(b^{2} + 2b + b + 2) = 9b^{2} + 6b + 1 + 4b^{2} + 12b + 8 =\)
\(= 13b^{2} + 18b + 9\).
Уравнение имеет два различных корня, если \(D > 0\):
\(13b^{2} + 18b + 9 > 0\).
Вычислим дискриминант по \(b\):
\(D_b = 18^{2} — 4 \cdot 13 \cdot 9 = 324 — 468 = -144 < 0\), значит \(13b^{2} + 18b + 9 > 0\) для всех \(b \in \mathbb{R}\).
Уравнение становится линейным, если \(b + 2 = 0\), то есть \(b = -2\).
Ответ: \(b \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\).
4) Уравнение: \((2b + 10)x^{2} — (4b + 8)x + 3b = 0\).
Дискриминант: \(D = (4b + 8)^{2} — 4 \cdot (2b + 10) \cdot 3b = 16b^{2} + 64b + 64 — 24b^{2} — 120b= \)
\(= -8b^{2} — 56b + 64\).
Уравнение имеет два различных корня, если \(D > 0\):
\(-8b^{2} — 56b + 64 > 0\).
Разделим на \(-8\) (неравенство поменяет знак):
\(b^{2} + 7b — 8 < 0\). Найдем корни: \(D_b = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81\), \(b_{1} = \frac{-7 - 9}{2} = -8\), \(b_{2} = \frac{-7 + 9}{2} = 1\). Решение неравенства: \((b + 8)(b - 1) < 0\), значит \(-8 < b < 1\). Уравнение становится линейным, если \(2b + 10 = 0\), то есть \(b = -5\). Ответ: \(b \in (-8; -5) \cup (-5; 1)\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.