ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 121 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(b\) имеет два различных действительных корня уравнение:
1) \(x^2 — 3bx + 2b + 5 = 0\);
2) \(bx^2 + (7b + 2)x + b = 0\);
3) \((b + 2)x^2 + (3b + 1)x — b — 1 = 0\);
4) \((2b + 10)x^2 — (4b + 8)x + 3b = 0\)?

1) Для уравнения \(x^2 — 3bx + 2b + 5 = 0\), чтобы оно имело два различных действительных корня, дискриминант должен быть положительным. Решение приводит к \(b \in (-\infty; -\frac{1}{9}) \cup (2; +\infty)\).

2) Для уравнения \(bx^2 + (7b + 2)x + b = 0\), условие существования двух различных действительных корней также требует положительного дискриминанта. Решение даёт \(b \in (-\infty; -\frac{2}{5}) \cup (-\frac{2}{9}; 0) \cup (0; +\infty)\).

3) Для уравнения \((b + 2)x^2 + (3b + 1)x — b — 1 = 0\), два различных действительных корня существуют при выполнении условия положительности дискриминанта. Решение: \(b \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\).

4) Для уравнения \((2b + 10)x^2 — (4b + 8)x + 3b = 0\), аналогично, два различных действительных корня существуют при положительном дискриминанте. Решение: \(b \in (-8; -5) \cup (-5; 1)\).

1) Уравнение: \(x^{2} — 3bx + 2b + 5 = 0\).

Дискриминант: \(D = (3b)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (2b + 5) = 9b^{2} — 8b — 20\).

Уравнение имеет два различных корня, если \(D > 0\):

\(9b^{2} — 8b — 20 > 0\).

Найдем корни квадратного неравенства:

\(D_b = (-8)^{2} — 4 \cdot 9 \cdot (-20) = 64 + 720 = 784\),

\(b_{1} = \frac{8 — 28}{2 \cdot 9} = \frac{-20}{18} = -\frac{10}{9} = -1 \frac{1}{9}\),

\(b_{2} = \frac{8 + 28}{2 \cdot 9} = \frac{36}{18} = 2\).

Решение неравенства:

\((b + 1 \frac{1}{9})(b — 2) > 0\),

значит

\(b < -1 \frac{1}{9}\) или \(b > 2\).

Ответ: \(b \in (-\infty; -\frac{10}{9}) \cup (2; +\infty)\).

2) Уравнение: \(bx^{2} + (7b + 2)x + b = 0\).

Дискриминант: \(D = (7b + 2)^{2} — 4 \cdot b \cdot b = 49b^{2} + 28b + 4 — 4b^{2} = 45b^{2} + 28b + 4\).

Уравнение имеет два различных корня, если \(D > 0\):

\(45b^{2} + 28b + 4 > 0\).

Найдем корни квадратного неравенства:

\(D_b = 28^{2} — 4 \cdot 45 \cdot 4 = 784 — 720 = 64\),

\(b_{1} = \frac{-28 — 8}{2 \cdot 45} = \frac{-36}{90} = -\frac{2}{5}\),

\(b_{2} = \frac{-28 + 8}{2 \cdot 45} = \frac{-20}{90} = -\frac{2}{9}\).

Решение неравенства:

\((b + \frac{2}{5})(b + \frac{2}{9}) > 0\),

значит

\(b < -\frac{2}{5}\) или \(b > -\frac{2}{9}\).

Уравнение становится линейным, если \(b = 0\).

Ответ: \(b \in (-\infty; -\frac{2}{5}) \cup (-\frac{2}{9}; 0) \cup (0; +\infty)\).

3) Уравнение: \((b + 2)x^{2} + (3b + 1)x — b — 1 = 0\).

Дискриминант: \(D = (3b + 1)^{2} — 4 \cdot (b + 2) \cdot (-b — 1)\).

Раскроем скобки:

\(D = 9b^{2} + 6b + 1 + 4(b^{2} + 2b + b + 2) = 9b^{2} + 6b + 1 + 4b^{2} + 12b + 8 =\)
\(= 13b^{2} + 18b + 9\).

Уравнение имеет два различных корня, если \(D > 0\):

\(13b^{2} + 18b + 9 > 0\).

Вычислим дискриминант по \(b\):

\(D_b = 18^{2} — 4 \cdot 13 \cdot 9 = 324 — 468 = -144 < 0\), значит \(13b^{2} + 18b + 9 > 0\) для всех \(b \in \mathbb{R}\).

Уравнение становится линейным, если \(b + 2 = 0\), то есть \(b = -2\).

Ответ: \(b \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\).

4) Уравнение: \((2b + 10)x^{2} — (4b + 8)x + 3b = 0\).

Дискриминант: \(D = (4b + 8)^{2} — 4 \cdot (2b + 10) \cdot 3b = 16b^{2} + 64b + 64 — 24b^{2} — 120b= \)
\(= -8b^{2} — 56b + 64\).

Уравнение имеет два различных корня, если \(D > 0\):

\(-8b^{2} — 56b + 64 > 0\).

Разделим на \(-8\) (неравенство поменяет знак):

\(b^{2} + 7b — 8 < 0\).

Найдем корни:

\(D_b = 7^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81\),

\(b_{1} = \frac{-7 — 9}{2} = -8\),

\(b_{2} = \frac{-7 + 9}{2} = 1\).

Решение неравенства:

\((b + 8)(b — 1) < 0\),

значит

\(-8 < b < 1\).

Уравнение становится линейным, если \(2b + 10 = 0\), то есть \(b = -5\).

Ответ: \(b \in (-8; -5) \cup (-5; 1)\).