ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 122 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите значения \(a\), при которых выполняется при всех действительных значениях \(x\) неравенство:
1) \(x^2 — 2(a — 6)x — 2a^2 — 2a + 33 > 0\);
2) \(-\frac{1}{6}x^2 — 4ax — 18a^2 — 24 \leq 0\);
3) \(ax^2 + 6x + 3a — 6 < 0\); 4) \((a^2 - 1)x^2 + 2(1 - a)x + 2 \geq 0\).

1) \(a \in \left(\frac{1}{3}; 3\right)\)

2) \(a \in [-2; 2]\)

3) \(a \in (-\infty; -1)\)

4) \(a \in (-\infty; -3] \cup (1; +\infty)\)

1) Рассмотрим неравенство \(x^2 — 2(a — 6)x — 2a^2 — 2a + 33 > 0\).
Дискриминант по \(x\):
\(D = (-2(a-6))^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2a^2 — 2a + 33) = 4(a-6)^2 + 8a^2 + 8a — 132\).
Раскроем скобки:
\(4(a^2 — 12a + 36) + 8a^2 + 8a — 132 = 4a^2 — 48a + 144 + 8a^2 + 8a — 132 =\)
\(= 12a^2 — 40a + 12\).
Неравенство будет верно при всех \(x\), если \(D < 0\):
\(12a^2 — 40a + 12 < 0\). Разделим на 4:
\(3a^2 — 10a + 3 < 0\).
Найдем корни:
\(D_a = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64\),
\(a_1 = \frac{10 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\),
\(a_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3\).
Тогда:
\((a — \frac{1}{3})(a — 3) < 0 \Rightarrow \frac{1}{3} < a < 3\).
Ответ: \(a \in \left(\frac{1}{3}; 3\right)\).

2) Рассмотрим неравенство \(-\frac{1}{6}x^2 — 4ax — 18a^2 — 24 \leq 0\).
Приведем к виду \(Ax^2 + Bx + C \geq 0\) (умножим на -1):
\(\frac{1}{6}x^2 + 4ax + 18a^2 + 24 \geq 0\).
Дискриминант по \(x\):
\(D = (4a)^2 — 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot (18a^2 + 24) = 16a^2 — \frac{4}{6}(18a^2 + 24) = 16a^2 -\)
\(- \frac{2}{3}(18a^2 + 24)\).
Вычислим:
\(\frac{2}{3} \cdot 18a^2 = 12a^2\), \(\frac{2}{3} \cdot 24 = 16\),
тогда
\(D = 16a^2 — 12a^2 — 16 = 4a^2 — 16\).
Неравенство верно при всех \(x\), если \(D \leq 0\):
\(4a^2 — 16 \leq 0 \Rightarrow a^2 \leq 4 \Rightarrow -2 \leq a \leq 2\).
Ответ: \(a \in [-2; 2]\).

3) Рассмотрим неравенство \(ax^2 + 6x + 3a — 6 < 0\).
Дискриминант по \(x\):
\(D = 6^2 — 4 \cdot a \cdot (3a — 6) = 36 — 12a^2 + 24a\).
Неравенство верно при всех \(x\), если \(D < 0\):
\(36 — 12a^2 + 24a < 0\). Разделим на -12 (смена знака): \(a^2 — 2a — 3 > 0\).
Найдем корни:
\(D_a = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\),
\(a_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1\),
\(a_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3\).
Тогда:
\((a + 1)(a — 3) > 0 \Rightarrow a < -1 \text{ или } a > 3\).
Поскольку ветви параболы направлены вниз (так как \(a < 0\)), выбираем \(a < 0\). Объединяем: \(a \in (-\infty; -1)\). Ответ: \(a \in (-\infty; -1)\).

4) Рассмотрим неравенство \((a^2 — 1)x^2 + 2(1 — a)x + 2 \geq 0\). Дискриминант по \(x\): \(D = (2(1 — a))^2 — 4(a^2 — 1) \cdot 2 = 4(1 — a)^2 — 8(a^2 — 1)\).

Раскроем скобки: \(4(1 — 2a + a^2) — 8a^2 + 8 = 4 — 8a + 4a^2 — 8a^2 + 8 = -4a^2 — 8a + 12\). Неравенство верно при всех \(x\), если \(D \leq 0\): \(-4a^2 — 8a + 12 \leq 0\).

Разделим на -4 (смена знака): \(a^2 + 2a — 3 \geq 0\).

Найдем корни: \(D_a = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\), \(a_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3\), \(a_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1\). Тогда: \((a + 3)(a — 1) \geq 0 \Rightarrow a \leq -3 \text{ или } a \geq 1\).

Ветви параболы направлены вверх (так как \(a^2 — 1 > 0\) при \(a \neq \pm 1\)).
Проверим знак при \(a = \pm 1\): при \(a = \pm 1\) коэффициент при \(x^2\) равен 0, отдельно проверяется.
Ответ: \(a \in (-\infty; -3] \cup (1; +\infty)\).