ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 123 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(m\) не имеет решений неравенство:

1) \(mx^2 — 8mx + 3m + 7 > 0\);

2) \((2m + 1)x^2 + 2(m + 2)x + m + 5,6 \leq 0\)?

1) Неравенство \(mx^2 — 8mx + 3m + 7 > 0\) не имеет решений при \(m \in \emptyset\).

2) Неравенство \((2m + 1)x^2 + 2(m + 2)x + m + 5,6 \leq 0\) не имеет решений при \(m \in (-0,2; +\infty)\).

1) Рассмотрим неравенство \(mx^2 — 8mx + 3m + 7 > 0\).

Дискриминант:
\(D = ( -8m )^2 — 4 \cdot m \cdot (3m + 7) = 64m^2 — 12m^2 — 28m = 52m^2 — 28m\).

Неравенство не имеет решений, если \(D \leq 0\):
\(52m^2 — 28m \leq 0\),
разделим на 4:
\(13m^2 — 7m \leq 0\),
вынесем \(m\) за скобки:
\(m(13m — 7) \leq 0\).

Решение:
\(0 \leq m \leq \frac{7}{13}\).

Поскольку ветви параболы направлены вниз (коэффициент при \(x^2\) равен \(m\), и для решения мы рассматриваем случай, когда \(m < 0\)), то для отсутствия решений должно выполняться \(m < 0\).

Пересечение условий:
\(0 \leq m \leq \frac{7}{13}\) и \(m < 0\) не пересекаются.

Ответ: \(m \in \emptyset\).

2) Рассмотрим неравенство \((2m + 1)x^2 + 2(m + 2)x + m + 5,6 \leq 0\).

Дискриминант:
\(D = (2(m + 2))^2 — 4 \cdot (2m + 1) \cdot (m + 5,6)\).

Вычислим:
\(D = 4(m^2 + 4m + 4) — 4(2m^2 + 11,2m + m + 5,6) = 4m^2 + 16m +\)
\(+ 16 — 8m^2 — 48,8m — 22,4 = -4m^2 — 32,8m — 6,4\).

Неравенство не имеет решений, если \(D < 0\):
\(-4m^2 — 32,8m — 6,4 < 0\).

Умножим на \(-1\) (неравенство меняет знак):
\(4m^2 + 32,8m + 6,4 > 0\).

Разделим на 4:
\(m^2 + 8,2m + 1,6 > 0\).

Найдем дискриминант для этого квадратного выражения:
\(D_1 = 8,2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1,6 = 67,24 — 6,4 = 60,84 > 0\).

Корни:
\(m_1 = \frac{-8,2 — \sqrt{60,84}}{2} = -8\),
\(m_2 = \frac{-8,2 + \sqrt{60,84}}{2} = -0,2\).

Тогда \(m^2 + 8,2m + 1,6 > 0\) при \(m < -8\) или \(m > -0,2\).

Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(2m + 1\).

Условие \(2m + 1 > 0\) даёт:
\(m > -\frac{1}{2} = -0,5\).

Пересечение условий:
\(m > -0,2\).

Ответ: \(m \in (-0,2; +\infty)\).