ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 125 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Для каждого значения \(a\) решите неравенство:
1) \(x^2 — (a — 4)x — 4a \geq 0\);
2) \(x^2 + (2 — 5a)x + 6a^2 — 3a — 3 < 0\).

1) Для неравенства \(x^2 — (a — 4)x — 4a \geq 0\):

Дискриминант \(D = (a-4)^2 + 16a = a^2 + 8a + 16 = (a+4)^2\).

Корни:
\(x_1 = \frac{(a-4) — (a+4)}{2} = -4\),
\(x_2 = \frac{(a-4) + (a+4)}{2} = a\).

Так как старший коэффициент положительный, неравенство \(\geq 0\) выполняется вне корней:
если \(a < -4\), то \(x \in (-\infty; a] \cup [-4; +\infty)\), если \(a = -4\), то \(x \in (-\infty; +\infty)\), если \(a > -4\), то \(x \in (-\infty; -4] \cup [a; +\infty)\).

2) Для неравенства \(x^2 + (2 — 5a)x + 6a^2 — 3a — 3 < 0\):

Дискриминант \(D = (2-5a)^2 — 4(6a^2 — 3a — 3) = a^2 — 8a + 16 = (a-4)^2\).

Корни:
\(x_1 = \frac{-(2-5a) — (a-4)}{2} = 2a + 1\),
\(x_2 = \frac{-(2-5a) + (a-4)}{2} = 3a — 3\).

Так как старший коэффициент положительный, неравенство \(< 0\) выполняется между корнями:
если \(a < 4\), то \(x \in (3a — 3; 2a + 1)\), если \(a = 4\), то решений нет \(x \in \emptyset\), если \(a > 4\), то \(x \in (2a + 1; 3a — 3)\).

1) Решим неравенство \(x^2 — (a — 4)x — 4a \geq 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = (a — 4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4a) = (a — 4)^2 + 16a = a^2 — 8a + 16 + 16a=\)
\( = a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2\).

Корни квадратного уравнения:
\(x_1 = \frac{(a — 4) — (a + 4)}{2} = \frac{-8}{2} = -4\),
\(x_2 = \frac{(a — 4) + (a + 4)}{2} = \frac{2a}{2} = a\).

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство \(x^2 — (a — 4)x — 4a \geq 0\) выполняется на промежутках \(x \leq x_1\) или \(x \geq x_2\).

Рассмотрим случаи:
— Если \(a < -4\), то \(x_1 = -4 > a = x_2\), поэтому решение: \(x \in (-\infty; a] \cup [-4; +\infty)\).
— Если \(a = -4\), корни совпадают, решение: \(x \in (-\infty; +\infty)\).
— Если \(a > -4\), то \(a = x_2 > x_1 = -4\), решение: \(x \in (-\infty; -4] \cup [a; +\infty)\).

2) Решим неравенство \(x^2 + (2 — 5a)x + 6a^2 — 3a — 3 < 0\).

Вычислим дискриминант:
\(D = (2 — 5a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (6a^2 — 3a — 3) = 4 — 20a + 25a^2 — 24a^2 + 12a +\)
\(+ 12 = a^2 — 8a + 16 = (a — 4)^2\).

Корни квадратного уравнения:
\(x_1 = \frac{-(2 — 5a) — (a — 4)}{2} = \frac{-2 + 5a — a + 4}{2} = \frac{4a + 2}{2} = 2a + 1\),
\(x_2 = \frac{-(2 — 5a) + (a — 4)}{2} = \frac{-2 + 5a + a — 4}{2} = \frac{6a — 6}{2} = 3a — 3\).

Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство \(< 0\) выполняется на промежутке между корнями: \(x_1 < x < x_2\). Рассмотрим порядок корней: Сравним \(2a + 1\) и \(3a — 3\): \(2a + 1 > 3a — 3 \iff a < 4\).

Тогда:
— Если \(a < 4\), то \(x_1 > x_2\), значит решение \(x \in (3a — 3; 2a + 1)\).
— Если \(a = 4\), корни совпадают, решений нет: \(x \in \emptyset\).
— Если \(a > 4\), то \(x_1 < x_2\), решение: \(x \in (2a + 1; 3a — 3)\).