ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 126 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:
1) \(|x^2 + 2x — 4| < 4\); 2) \(|x^2 - 6x| > 7\);
3) \(|x + 3|(x — 6) \geq 4x\);
4) \(x^2 + 9|x| < 10\); 5) \(x^2 - 4x + 6 > |x + 2|\);
6) \(x^2 — 3|x — 3| + 8 \leq 5|x + 2|\).

1) \( |x^2 + 2x — 4| < 4 \) Ответ: \( x \in (-4, -2) \cup (0, 2) \) 2) \( |x^2 - 6x| > 7 \)
Ответ: \( x \in (-\infty, -1) \cup (3 — \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}) \cup (7, +\infty) \)

3) \( |x + 3|(x — 6) \geq 4x \)
Ответ: \( x \in \left[-\frac{1 — \sqrt{73}}{2}, -2\right] \cup [9, +\infty) \)

4) \( x^2 + 9|x| < 10 \) Ответ: \( x \in (-1, 1) \) 5) \( x^2 - 4x + 6 > |x + 2| \)
Ответ: \( x \in (-\infty, 1) \cup (4, +\infty) \)

6) \( x^2 — 3|x — 3| + 8 \leq 5|x + 2| \)
Ответ: \( x \in [-4 — \sqrt{7}, 7] \)

1) \( |x^2 + 2x — 4| < 4 \) Если \( x^2 + 2x - 4 \geq 0 \), тогда неравенство эквивалентно \( x^2 + 2x - 4 < 4 \), что даёт \( x^2 + 2x - 8 < 0 \). Дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \). Корни: \( x_1 = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \), \( x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \). Значит, \( (x + 4)(x - 2) < 0 \Rightarrow -4 < x < 2 \). Если \( x^2 + 2x - 4 < 0 \), тогда \( x^2 + 2x - 4 > -4 \Rightarrow x^2 + 2x > 0 \).
Факторизация: \( x(x + 2) > 0 \Rightarrow x < -2 \) или \( x > 0 \).
Ответ: \( x \in (-4, -2) \cup (0, 2) \).

2) \( |x^2 — 6x| > 7 \)
Число под знаком модуля: \( x^2 — 6x \geq 0 \Rightarrow x(x — 6) \geq 0 \Rightarrow x \leq 0 \) или \( x \geq 6 \).
Если \( x \leq 0 \) или \( x \geq 6 \), тогда \( x^2 — 6x > 7 \Rightarrow x^2 — 6x — 7 > 0 \).
Дискриминант: \( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \).
Корни: \( x_1 = \frac{6 — 8}{2} = -1 \), \( x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7 \).
Значит, \( (x + 1)(x — 7) > 0 \Rightarrow x < -1 \) или \( x > 7 \).
Если \( 0 < x < 6 \), тогда \( x^2 - 6x < 0 \), и неравенство \( |x^2 - 6x| > 7 \) становится \( -(x^2 — 6x) > 7 \Rightarrow x^2 — 6x < -7 \). Перепишем: \( x^2 - 6x + 7 < 0 \). Дискриминант: \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8 \). Корни: \( x = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2} \). Значит, \( (x - (3 - \sqrt{2}))(x - (3 + \sqrt{2})) < 0 \Rightarrow 3 - \sqrt{2} < x < 3 + \sqrt{2} \). Ответ: \( x \in (-\infty, -1) \cup (3 - \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}) \cup (7, +\infty) \). 3) \( |x + 3|(x - 6) \geq 4x \) Число под знаком модуля: \( x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3 \). Если \( x \geq -3 \), тогда \( (x + 3)(x - 6) \geq 4x \). Раскроем скобки: \( x^2 - 6x + 3x - 18 \geq 4x \Rightarrow x^2 - 7x - 18 \geq 0 \). Дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 \). Корни: \( x_1 = \frac{7 - 11}{2} = -2 \), \( x_2 = \frac{7 + 11}{2} = 9 \). Значит, \( (x + 2)(x - 9) \geq 0 \Rightarrow x \leq -2 \) или \( x \geq 9 \). Но учитывая \( x \geq -3 \), остаётся \( x \in [-2, 9) \) для дальнейшего анализа. Если \( x < -3 \), тогда \( -(x + 3)(x - 6) \geq 4x \). Раскроем: \( -x^2 + 6x - 3x + 18 \geq 4x \Rightarrow -x^2 + 3x + 18 \geq 4x \Rightarrow -x^2 - x + 18 \geq 0 \). Умножим на -1 (неравенство изменит знак): \( x^2 + x - 18 \leq 0 \). Дискриминант: \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 1 + 72 = 73 \). Корни: \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{73}}{2} \). Значит, \( \frac{-1 - \sqrt{73}}{2} \leq x \leq \frac{-1 + \sqrt{73}}{2} \). Ответ: \( x \in \left[\frac{-1 - \sqrt{73}}{2}, -2\right] \cup [9, +\infty) \). 4) \( x^2 + 9|x| < 10 \) Если \( x \geq 0 \), тогда \( x^2 + 9x < 10 \Rightarrow x^2 + 9x - 10 < 0 \). Дискриминант: \( D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 \). Корни: \( x_1 = \frac{-9 - 11}{2} = -10 \), \( x_2 = \frac{-9 + 11}{2} = 1 \). Значит, \( (x + 10)(x - 1) < 0 \Rightarrow -10 < x < 1 \). Учитывая \( x \geq 0 \), получаем \( 0 \leq x < 1 \). Если \( x < 0 \), тогда \( x^2 - 9x < 10 \Rightarrow x^2 - 9x - 10 < 0 \). Дискриминант: \( D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 \). Корни: \( x_1 = \frac{9 - 11}{2} = -1 \), \( x_2 = \frac{9 + 11}{2} = 10 \). Значит, \( (x + 1)(x - 10) < 0 \Rightarrow -1 < x < 10 \). Учитывая \( x < 0 \), получаем \( -1 < x < 0 \). Ответ: \( x \in (-1, 1) \). 5) \( x^2 - 4x + 6 > |x + 2| \)
Если \( x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \), тогда \( x^2 — 4x + 6 > x + 2 \).
Переносим: \( x^2 — 5x + 4 > 0 \).
Дискриминант: \( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9 \).
Корни: \( x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \).
Значит, \( (x — 1)(x — 4) > 0 \Rightarrow x < 1 \) или \( x > 4 \). Учитывая \( x \geq -2 \), получаем \( -2 \leq x < 1 \) или \( x > 4 \).
Если \( x + 2 < 0 \Rightarrow x < -2 \), тогда \( x^2 - 4x + 6 > -(x + 2) \).
Переносим: \( x^2 — 3x + 8 > 0 \).
Дискриминант: \( D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 — 32 = -23 < 0 \), значит неравенство верно для всех \( x \). Ответ: \( x \in (-\infty, 1) \cup (4, +\infty) \). 6) \( x^2 - 3|x - 3| + 8 \leq 5|x + 2| \) Числа под знаком модуля: \( x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \), \( x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \). Если \( x \geq 3 \), тогда \( x^2 - 3(x - 3) + 8 \leq 5(x + 2) \). Раскроем скобки: \( x^2 - 3x + 9 + 8 \leq 5x + 10 \Rightarrow x^2 - 8x + 7 \leq 0 \). Дискриминант: \( D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36 \). Корни: \( x_1 = \frac{8 - 6}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7 \). Значит, \( (x - 1)(x - 7) \leq 0 \Rightarrow 1 \leq x \leq 7 \). Учитывая \( x \geq 3 \), получаем \( 3 \leq x \leq 7 \). Если \( -2 \leq x < 3 \), тогда \( x^2 + 3(x - 3) + 8 \leq 5(x + 2) \). Раскроем: \( x^2 + 3x - 9 + 8 \leq 5x + 10 \Rightarrow x^2 - 2x - 11 \leq 0 \). Дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48 \). Корни: \( x = \frac{2 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{3} \). Значит, \( (x - (1 - 2\sqrt{3}))(x - (1 + 2\sqrt{3})) \leq 0 \Rightarrow 1 - 2\sqrt{3} \leq x \leq 1 + 2\sqrt{3} \). Учитывая \( -2 \leq x < 3 \), получаем \( -2 \leq x \leq 1 + 2\sqrt{3} \). Если \( x < -2 \), тогда \( x^2 + 3(x - 3) + 8 \leq -5(x + 2) \). Раскроем: \( x^2 + 3x - 9 + 8 \leq -5x - 10 \Rightarrow x^2 + 8x + 9 \leq 0 \). Дискриминант: \( D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 64 - 36 = 28 \). Корни: \( x = \frac{-8 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -4 \pm \sqrt{7} \). Значит, \( (x - (-4 - \sqrt{7}))(x - (-4 + \sqrt{7})) \leq 0 \Rightarrow -4 - \sqrt{7} \leq x \leq -4 + \sqrt{7} \). Учитывая \( x < -2 \), получаем \( -4 - \sqrt{7} \leq x < -2 \). Объединяя: \( x \in [-4 - \sqrt{7}, 7] \).