ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 127 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:
1)
\(\begin{cases}
xy = 6, \\
x — y = 5;
\end{cases}\)
2)
\(\begin{cases}
y = x^2 + 2x — 2, \\
y = 2 — x;
\end{cases}\)
3)
\(\begin{cases}
x^2 + y = 5, \\
x — y = 7;
\end{cases}\)
4)
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = 10, \\
y = x — 2;
\end{cases}\)
5)
\(\begin{cases}
(x — 3)^2 + (y + 1)^2 = 13, \\
x — y — 5 = 0;
\end{cases}\)
6)
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = 20, \\
xy = -8.
\end{cases}\)

1)
\(\begin{cases}
xy = 6, \\
x — y = 5
\end{cases}\)
Ответ: \((-1; -6), (6; 1)\)

2)
\(\begin{cases}
y = x^2 + 2x — 2, \\
y = 2 — x
\end{cases}\)
Ответ: \((-4; -11), (3; -4)\)

3)
\(\begin{cases}
x^2 + y = 5, \\
x — y = 7
\end{cases}\)
Ответ: \(\emptyset\) (нет решений)

4)
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = 10, \\
y = x — 2
\end{cases}\)
Ответ: \((-1; -3), (3; 1)\)

5)
\(\begin{cases}
(x — 3)^2 + (y + 1)^2 = 13, \\
x — y — 5 = 0
\end{cases}\)
Ответ: \((1; -4), (6; 1)\)

6)
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = 20, \\
xy = -8
\end{cases}\)
Ответ: \((-4; 2), (2; 4), (2; -4), (4; -2)\)

1)

Система:
\(\begin{cases}
xy = 6, \\
x — y = 5
\end{cases}\)

Из второго уравнения выразим \(y\):
\(y = x — 5\).

Подставим в первое:
\(x(x — 5) = 6 \Rightarrow x^2 — 5x — 6 = 0\).

Решаем квадратное уравнение:
\(x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2}\).

Корни:
\(x_1 = 6\), \(x_2 = -1\).

Тогда \(y_1 = 6 — 5 = 1\), \(y_2 = -1 — 5 = -6\).

Ответ: \((-1; -6), (6; 1)\).

2)

Система:
\(\begin{cases}
y = x^2 + 2x — 2, \\
y = 2 — x
\end{cases}\)

Приравниваем правые части:
\(x^2 + 2x — 2 = 2 — x\).

Переносим всё в одну сторону:
\(x^2 + 3x — 4 = 0\).

Решаем квадратное уравнение:
\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}\).

Корни:
\(x_1 = 1\), \(x_2 = -4\).

Находим \(y\):
\(y_1 = 2 — 1 = 1\), \(y_2 = 2 — (-4) = 6\).

Ответ: \((-4; -11), (3; -4)\) — согласно примеру. Проверим значения \(y\) в параболе:
Для \(x = -4\), \(y = (-4)^2 + 2(-4) — 2 = 16 — 8 — 2 = 6\), но в ответе \(y = -11\), значит в примере ошибка в значениях, исправим:
Для \(x = -4\), \(y = 2 — (-4) = 6\), а в параболе \(y = 16 — 8 — 2 = 6\), совпадает. Значит ответ: \((-4; 6), (1; 1)\).

3)

Система:
\(\begin{cases}
x^2 + y = 5, \\
x — y = 7
\end{cases}\)

Из второго уравнения:
\(y = x — 7\).

Подставим в первое:
\(x^2 + x — 7 = 5 \Rightarrow x^2 + x — 12 = 0\).

Решаем квадратное уравнение:
\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2}\).

Корни:
\(x_1 = 3\), \(x_2 = -4\).

Находим \(y\):
\(y_1 = 3 — 7 = -4\), \(y_2 = -4 — 7 = -11\).

Ответ: \((3; -4), (-4; -11)\).

4)

Система:
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = 10, \\
y = x — 2
\end{cases}\)

Подставим \(y = x — 2\) в уравнение окружности:
\(x^2 + (x — 2)^2 = 10\).

Раскроем скобки:
\(x^2 + x^2 — 4x + 4 = 10\).

Соберём в уравнение:
\(2x^2 — 4x + 4 = 10 \Rightarrow 2x^2 — 4x — 6 = 0\).

Разделим на 2:
\(x^2 — 2x — 3 = 0\).

Решаем квадратное уравнение:
\(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}\).

Корни:
\(x_1 = 3\), \(x_2 = -1\).

Находим \(y\):
\(y_1 = 3 — 2 = 1\), \(y_2 = -1 — 2 = -3\).

Ответ: \((-1; -3), (3; 1)\).

5)

Система:
\(\begin{cases}
(x — 3)^2 + (y + 1)^2 = 13, \\
x — y — 5 = 0
\end{cases}\)

Из второго уравнения:
\(y = x — 5\).

Подставим в первое:
\((x — 3)^2 + (x — 5 + 1)^2 = 13\).

Упростим:
\((x — 3)^2 + (x — 4)^2 = 13\).

Раскроем скобки:
\((x^2 — 6x + 9) + (x^2 — 8x + 16) = 13\).

Соберём:
\(2x^2 — 14x + 25 = 13\).

Упростим:
\(2x^2 — 14x + 12 = 0\).

Разделим на 2:
\(x^2 — 7x + 6 = 0\).

Решаем:
\(x = \frac{7 \pm \sqrt{49 — 24}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2}\).

Корни:
\(x_1 = 6\), \(x_2 = 1\).

Находим \(y\):
\(y_1 = 6 — 5 = 1\), \(y_2 = 1 — 5 = -4\).

Ответ: \((1; -4), (6; 1)\).

6)

Система:
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = 20, \\
xy = -8
\end{cases}\)

Подставим \(y = \frac{-8}{x}\) во второе уравнение:
\(x^2 + \left(\frac{-8}{x}\right)^2 = 20\).

Упростим:
\(x^2 + \frac{64}{x^2} = 20\).

Домножим на \(x^2\):
\(x^4 — 20x^2 + 64 = 0\).

Пусть \(t = x^2\), тогда:
\(t^2 — 20t + 64 = 0\).

Решаем квадратное уравнение:
\(t = \frac{20 \pm \sqrt{400 — 256}}{2} = \frac{20 \pm 12}{2}\).

Корни:
\(t_1 = 16\), \(t_2 = 4\).

Тогда:
\(x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4\),
\(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\).

Находим \(y\):
для \(x = 4\), \(y = \frac{-8}{4} = -2\),
для \(x = -4\), \(y = \frac{-8}{-4} = 2\),
для \(x = 2\), \(y = \frac{-8}{2} = -4\),
для \(x = -2\), \(y = \frac{-8}{-2} = 4\).

Ответ: \((-4; 2), (2; 4), (2; -4), (4; -2)\).