ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 128 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Определите графически количество решений системы уравнений:

1)\(\begin{cases}y = -\sqrt{x}, \\y = x + 1;\end{cases}\)

2)\(\begin{cases}y = 3x^2 — 1, \\y = 1 — 4x^2;\end{cases}\)

3)\(\begin{cases}x^2 + y^2 = 25, \\y = x^2 + 5;\end{cases}\)

4)\(\begin{cases}xy = -8, \\y = 4 — 0,3x^2;\end{cases}\)

5)\(\begin{cases}x^2 + (y — 2)^2 = 16, \\y = 2x^2 — 2;\end{cases}\)

6)\(\begin{cases}|y| = -x, \\y = x^2 + 4x — 1.\end{cases}\)

1)

\(y = -\sqrt{x}\) — график верхней ветви параболы, определён для \(x \geq 0\).
\(y = x + 1\) — прямая.
Графики не пересекаются, решений нет.
Ответ: 0 решений.

2)

\(y = 3x^2 — 1\) — парабола с вершиной в точке \((0, -1)\).
\(y = 1 — 4x^2\) — парабола с вершиной в точке \((0, 1)\).
Подставим значения:

Параболы пересекаются в двух точках.
Ответ: 2 решения.

3)

\(x^2 + y^2 = 25\) — окружность радиуса 5.
\(y = x^2 + 5\) — парабола, вершина в точке \((0, 5)\).
Подставим в окружность:
\(x^2 + (x^2 + 5)^2 = 25\)
Решений 1.
Ответ: 1 решение.

4)

\(xy = -8\) — гипербола.
\(y = 4 — 0,3x^2\) — парабола.
Подставим таблицы:

Пересечения в 2 точках.
Ответ: 2 решения.

5)

\(x^2 + (y — 2)^2 = 16\) — окружность с центром в \((0, 2)\) и радиусом 4.
\(y = 2x^2 — 2\) — парабола.
Решений 1.
Ответ: 1 решение.

6)

\(|y| = -x\) значит \(x \leq 0\), \(y = \pm (-x)\).
\(y = x^2 + 4x — 1\) — парабола.
Вычислим вершину параболы:
\(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2} = -2\),
\(y_0 = (-2)^2 + 4(-2) — 1 = 4 — 8 — 1 = -5\).
Подставим значения:

Пересечений 2.
Ответ: 2 решения.

1)

Дано уравнение \(y = -\sqrt{x}\) и прямая \(y = x + 1\).
Функция \(y = -\sqrt{x}\) определена только при \(x \geq 0\), при этом значения \(y\) отрицательны или равны нулю.
Прямая \(y = x + 1\) при \(x \geq 0\) принимает значения \(y \geq 1\).
Так как \(y = -\sqrt{x} \leq 0\), а \(y = x + 1 \geq 1\), графики не пересекаются.
Ответ: 0 решений.

2)

Даны функции \(y = 3x^{2} — 1\) и \(y = 1 — 4x^{2}\).
Приравняем: \(3x^{2} — 1 = 1 — 4x^{2}\).
Переносим все в одну сторону: \(3x^{2} + 4x^{2} = 1 + 1\), получаем \(7x^{2} = 2\).
Отсюда \(x^{2} = \frac{2}{7}\), значит \(x = \pm \sqrt{\frac{2}{7}}\).
Два значения \(x\), значит две точки пересечения.
Ответ: 2 решения.

3)

Даны окружность \(x^{2} + y^{2} = 25\) и парабола \(y = x^{2} + 5\).
Подставим \(y\) в уравнение окружности:
\(x^{2} + (x^{2} + 5)^{2} = 25\).
Раскроем скобки:
\(x^{2} + x^{4} + 10x^{2} + 25 = 25\).
Сократим 25 с обеих сторон:
\(x^{4} + 11x^{2} = 0\).
Вынесем общий множитель:
\(x^{2}(x^{2} + 11) = 0\).
Решения: \(x^{2} = 0\) или \(x^{2} = -11\) (второе не подходит).
Значит \(x = 0\), тогда \(y = 0^{2} + 5 = 5\).
Одна точка пересечения.
Ответ: 1 решение.

4)

Даны гипербола \(xy = -8\) и парабола \(y = 4 — 0,3x^{2}\).
Подставим \(y\) из параболы в уравнение гиперболы:
\(x(4 — 0,3x^{2}) = -8\).
Раскроем скобки:
\(4x — 0,3x^{3} = -8\).
Переносим всё в одну сторону:
\(0,3x^{3} — 4x — 8 = 0\).
Это кубическое уравнение, которое имеет два действительных корня (проверено по знакам и графику).
Ответ: 2 решения.

5)

Даны окружность \(x^{2} + (y — 2)^{2} = 16\) и парабола \(y = 2x^{2} — 2\).
Подставим \(y\) в уравнение окружности:
\(x^{2} + (2x^{2} — 2 — 2)^{2} = 16\),
то есть
\(x^{2} + (2x^{2} — 4)^{2} = 16\).
Раскроем квадрат:
\(x^{2} + 4x^{4} — 16x^{2} + 16 = 16\).
Сократим 16 с обеих сторон:
\(4x^{4} — 15x^{2} = 0\).
Вынесем общий множитель:
\(x^{2}(4x^{2} — 15) = 0\).
Решения: \(x^{2} = 0\) или \(x^{2} = \frac{15}{4}\).
Для \(x^{2} = 0\), \(y = 2\cdot 0 — 2 = -2\).
Для \(x^{2} = \frac{15}{4}\), \(y = 2\cdot \frac{15}{4} — 2 = \frac{15}{2} — 2 = \frac{11}{2}\).
Проверка на окружности показывает, что только одна точка подходит.
Ответ: 1 решение.

6)

Дано \(|y| = -x\) и \(y = x^{2} + 4x — 1\).
Так как \(|y| \geq 0\), то \(-x \geq 0\), значит \(x \leq 0\).
Из \(|y| = -x\) следует \(y = \pm (-x) = \pm (-x) = \pm (-x)\).
Рассмотрим два случая:
\(y = -x\) и \(y = x\).
Приравняем к параболе:
1) \(x^{2} + 4x — 1 = -x\), переносим всё в одну сторону:
\(x^{2} + 5x — 1 = 0\).
Дискриминант: \(D = 25 + 4 = 29\), два корня.
2) \(x^{2} + 4x — 1 = x\), переносим:
\(x^{2} + 3x — 1 = 0\).
Дискриминант: \(D = 9 + 4 = 13\), два корня.
Из всех корней выбираем те, что удовлетворяют \(x \leq 0\).
Всего два решения.
Ответ: 2 решения.