ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 129 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1)
\(\begin{cases}
x = 5 — y, \\
y^2 + 4xy = 33;
\end{cases}\)
2)
\(\begin{cases}
x + y = 8, \\
xy = -20;
\end{cases}\)
3)
\(\begin{cases}
y — 7x = 3, \\
y^2 — 6xy — x^2 = -9;
\end{cases}\)
4)
\(\begin{cases}
y^2 — xy + x = 2, \\
5y + x = 12;
\end{cases}\)
5)
\(\begin{cases}
4x — 3y = 4, \\
5y^2 — 16x = 16;
\end{cases}\)
6)
\(\begin{cases}
4y + x = 2, \\
(x — 4)(y + 3) = 4.
\end{cases}\)

1) Из первого уравнения \(x = 5 — y\). Подставляем во второе: \(y^2 + 4y(5 — y) = 33\), получаем \(3y^2 — 20y + 33 = 0\). Решаем квадратное уравнение, корни \(y_1 = 3\), \(y_2 = \frac{11}{3}\). Тогда \(x_1 = 5 — 3 = 2\), \(x_2 = 5 — \frac{11}{3} = \frac{4}{3}\). Ответ: \((2; 3), \left(\frac{4}{3}; \frac{11}{3}\right)\).

2) Из первого уравнения \(y = 8 — x\). Подставляем во второе: \(x(8 — x) = -20\), или \(x^2 — 8x — 20 = 0\). Корни: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 10\). Тогда \(y_1 = 10\), \(y_2 = -2\). Ответ: \((-2; 10), (10; -2)\).

3) Из первого уравнения \(y = 3 + 7x\). Подставляем во второе: \((3 + 7x)^2 — 6x(3 + 7x) — x^2 = -9\), упрощаем до \(x^2 + 4x + 3 = 0\). Корни: \(x_1 = -3\), \(x_2 = -1\). Тогда \(y_1 = 3 + 7(-3) = -18\), \(y_2 = 3 + 7(-1) = -4\). Ответ: \((-3; -18), (-1; -4)\).

4) Из второго уравнения \(x = 12 — 5y\). Подставляем в первое: \(y^2 — y(12 — 5y) + (12 — 5y) = 2\), упрощаем до \(6y^2 — 17y + 10 = 0\). Корни: \(y_1 = \frac{5}{6}\), \(y_2 = 2\). Тогда \(x_1 = 12 — 5 \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{6}\), \(x_2 = 12 — 5 \cdot 2 = 2\). Ответ: \(\left(\frac{25}{6}; \frac{5}{6}\right), (2; 2)\).

5) Из первого уравнения \(x = \frac{4 + 3y}{4}\). Подставляем во второе: \(5y^2 — 16 \cdot \frac{4 + 3y}{4} = 16\), упрощаем до \(5y^2 — 12y — 32 = 0\). Корни: \(y_1 = -\frac{8}{5}\), \(y_2 = 4\). Тогда \(x_1 = \frac{4 + 3 \cdot (-\frac{8}{5})}{4} = -\frac{1}{5}\), \(x_2 = \frac{4 + 3 \cdot 4}{4} = 4\). Ответ: \(\left(-\frac{1}{5}; -\frac{8}{5}\right), (4; 4)\).

6) Из первого уравнения \(x = 2 — 4y\). Подставляем во второе: \((2 — 4y — 4)(y + 3) = 4\), упрощаем до \(2y^2 + 7y + 5 = 0\). Корни: \(y_1 = -2.5\), \(y_2 = -1\). Тогда \(x_1 = 2 — 4(-2.5) = 12\), \(x_2 = 2 — 4(-1) = 6\). Ответ: \((12; -2.5), (6; -1)\).

1)
Из второго уравнения системы \(y^2 + 4xy = 33\) подставим \(x = 5 — y\):
\(y^2 + 4y(5 — y) = 33\)
\(y^2 + 20y — 4y^2 = 33\)
\(3y^2 — 20y + 33 = 0\)

Вычислим дискриминант:
\(D = (-20)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 33 = 400 — 396 = 4\)

Найдем корни:
\(y_1 = \frac{20 — 2}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3\)
\(y_2 = \frac{20 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}\)

Вычислим \(x\):
\(x_1 = 5 — 3 = 2\)
\(x_2 = 5 — \frac{11}{3} = \frac{15}{3} — \frac{11}{3} = \frac{4}{3}\)

Ответ:

2)
Из первого уравнения \(x + y = 8\) выразим \(y = 8 — x\). Подставим во второе уравнение:
\(xy = -20\)
\(x(8 — x) = -20\)
\(8x — x^2 = -20\)
\(x^2 — 8x — 20 = 0\)

Дискриминант:
\(D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144\)

Корни:
\(x_1 = \frac{8 — 12}{2} = -2\)
\(x_2 = \frac{8 + 12}{2} = 10\)

Вычислим \(y\):
\(y_1 = 8 — (-2) = 10\)
\(y_2 = 8 — 10 = -2\)

Ответ:

3)
Из первого уравнения \(y — 7x = 3\) выразим \(y = 3 + 7x\). Подставим во второе уравнение:
\(y^2 — 6xy — x^2 = -9\)
\((3 + 7x)^2 — 6x(3 + 7x) — x^2 = -9\)
\(9 + 42x + 49x^2 — 18x — 42x^2 — x^2 = -9\)
\(9 + 24x + 6x^2 = -9\)
\(6x^2 + 24x + 18 = 0\)
Разделим на 6:
\(x^2 + 4x + 3 = 0\)

Дискриминант:
\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\)

Корни:
\(x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3\)
\(x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1\)

Вычислим \(y\):
\(y_1 = 3 + 7 \cdot (-3) = 3 — 21 = -18\)
\(y_2 = 3 + 7 \cdot (-1) = 3 — 7 = -4\)

Ответ:

4)
Из второго уравнения \(5y + x = 12\) выразим \(x = 12 — 5y\). Подставим в первое:
\(y^2 — xy + x = 2\)
\(y^2 — y(12 — 5y) + (12 — 5y) = 2\)
\(y^2 — 12y + 5y^2 + 12 — 5y = 2\)
\(6y^2 — 17y + 10 = 0\)

Дискриминант:
\(D = (-17)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 10 = 289 — 240 = 49\)

Корни:
\(y_1 = \frac{17 — 7}{2 \cdot 6} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}\)
\(y_2 = \frac{17 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{24}{12} = 2\)

Вычислим \(x\):
\(x_1 = 12 — 5 \cdot \frac{5}{6} = 12 — \frac{25}{6} = \frac{72}{6} — \frac{25}{6} = \frac{47}{6}\)
\(x_2 = 12 — 5 \cdot 2 = 12 — 10 = 2\)

Ответ:

5)
Из первого уравнения \(4x — 3y = 4\) выразим \(x = \frac{4 + 3y}{4}\). Подставим во второе:
\(5y^2 — 16x = 16\)
\(5y^2 — 16 \cdot \frac{4 + 3y}{4} = 16\)
\(5y^2 — 4(4 + 3y) = 16\)
\(5y^2 — 16 — 12y = 16\)
\(5y^2 — 12y — 32 = 0\)

Дискриминант:
\(D = (-12)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-32) = 144 + 640 = 784\)

Корни:
\(y_1 = \frac{12 — 28}{2 \cdot 5} = \frac{-16}{10} = -\frac{8}{5}\)
\(y_2 = \frac{12 + 28}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4\)

Вычислим \(x\):
\(x_1 = \frac{4 + 3 \cdot (-\frac{8}{5})}{4} = \frac{4 — \frac{24}{5}}{4} = \frac{\frac{20}{5} — \frac{24}{5}}{4} = \frac{-\frac{4}{5}}{4} = -\frac{1}{5}\)
\(x_2 = \frac{4 + 3 \cdot 4}{4} = \frac{4 + 12}{4} = 4\)

Ответ:

6)
Из первого уравнения \(4y + x = 2\) выразим \(x = 2 — 4y\). Подставим во второе:
\((x — 4)(y + 3) = 4\)
\((2 — 4y — 4)(y + 3) = 4\)
\((-2 — 4y)(y + 3) = 4\)
\(-2y — 6 — 4y^2 — 12y = 4\)
\(-4y^2 — 14y — 6 = 4\)
\(-4y^2 — 14y — 10 = 0\)
Умножим на \(-1\):
\(4y^2 + 14y + 10 = 0\)
Разделим на 2:
\(2y^2 + 7y + 5 = 0\)

Дискриминант:
\(D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 — 40 = 9\)

Корни:
\(y_1 = \frac{-7 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5\)
\(y_2 = \frac{-7 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1\)

Вычислим \(x\):
\(x_1 = 2 — 4 \cdot (-2.5) = 2 + 10 = 12\)
\(x_2 = 2 — 4 \cdot (-1) = 2 + 4 = 6\)

Ответ: