ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 130 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:
1) прямой \(y = 3x — 1\) и параболы \(y = x^2 — 2x + 3\);
2) прямой \(2x + y + 9 = 0\) и окружности \((x + 2)^2 + y^2 = 10\);
3) прямой \(y = -x + 1\) и окружности \(x^2 + (y + 3)^2 = 8\);
4) парабол \(y = 2x^2 — 8x + 10\) и \(y = 1 + 4x — 2x^2\).

1) Приравниваем \(y\): \(3x — 1 = x^2 — 2x + 3\), получаем \(x^2 — 5x + 4 = 0\). Решая квадратное уравнение, находим \(x_1 = 1\), \(x_2 = 4\). Тогда \(y_1 = 3 \cdot 1 — 1 = 2\), \(y_2 = 3 \cdot 4 — 1 = 11\). Ответ: \((1; 2)\), \((4; 11)\).

2) Выражаем \(y\) из прямой: \(y = -2x — 9\). Подставляем в уравнение окружности: \((x+2)^2 + (-2x-9)^2 = 10\), получаем \(x^2 + 8x + 15 = 0\). Решая, \(x_1 = -5\), \(x_2 = -3\). Тогда \(y_1 = -2(-5) — 9 = 1\), \(y_2 = -2(-3) — 9 = -3\). Ответ: \((-5; 1)\), \((-3; -3)\).

3) Подставляем \(y = -x + 1\) в окружность: \(x^2 + (-x + 1 + 3)^2 = 8\), упрощаем до \((x — 2)^2 = 0\), значит \(x = 2\). Тогда \(y = -2 + 1 = -1\). Ответ: \((2; -1)\).

4) Приравниваем параболы: \(2x^2 — 8x + 10 = 1 + 4x — 2x^2\), приводим к виду \(4x^2 — 12x + 9 = 0\), что равно \((2x — 3)^2 = 0\), значит \(x = \frac{3}{2}\). Тогда \(y = 1 + 4 \cdot \frac{3}{2} — 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2.5\). Ответ: \(\left(\frac{3}{2}; 2.5\right)\) или \((1.5; 2.5)\).

1) Даны прямая \(y = 3x — 1\) и парабола \(y = x^2 — 2x + 3\). Приравниваем выражения для \(y\):
\(3x — 1 = x^2 — 2x + 3\).
Переносим все в одну сторону:
\(x^2 — 2x + 3 — 3x + 1 = 0\),
\(x^2 — 5x + 4 = 0\).

Находим дискриминант:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9\).

Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1\),
\(x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\).

Находим \(y\):
\(y_1 = 3 \cdot 1 — 1 = 2\),
\(y_2 = 3 \cdot 4 — 1 = 11\).

Ответ: \((1; 2)\), \((4; 11)\).

2) Дана прямая \(2x + y + 9 = 0\) и окружность \((x + 2)^2 + y^2 = 10\). Выражаем \(y\) из прямой:
\(y = -2x — 9\).

Подставляем в уравнение окружности:
\((x + 2)^2 + (-2x — 9)^2 = 10\).
Раскрываем скобки:
\(x^2 + 4x + 4 + 4x^2 + 36x + 81 = 10\),
\(5x^2 + 40x + 85 = 10\).

Переносим 10 влево:
\(5x^2 + 40x + 75 = 0\).
Делим на 5:
\(x^2 + 8x + 15 = 0\).

Вычисляем дискриминант:
\(D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 — 60 = 4\).

Корни:
\(x_1 = \frac{-8 — 2}{2} = -5\),
\(x_2 = \frac{-8 + 2}{2} = -3\).

Находим \(y\):
\(y_1 = -2 \cdot (-5) — 9 = 10 — 9 = 1\),
\(y_2 = -2 \cdot (-3) — 9 = 6 — 9 = -3\).

Ответ: \((-5; 1)\), \((-3; -3)\).

3) Дана прямая \(y = -x + 1\) и окружность \(x^2 + (y + 3)^2 = 8\). Подставляем \(y\):
\(x^2 + (-x + 1 + 3)^2 = 8\),
\(x^2 + (4 — x)^2 = 8\).

Раскрываем скобки:
\(x^2 + 16 — 8x + x^2 = 8\),
\(2x^2 — 8x + 16 = 8\).

Переносим 8:
\(2x^2 — 8x + 8 = 0\).
Делим на 2:
\(x^2 — 4x + 4 = 0\).

Это полный квадрат:
\((x — 2)^2 = 0\),
\(x = 2\).

Находим \(y\):
\(y = -2 + 1 = -1\).

Ответ: \((2; -1)\).

4) Даны параболы \(y = 2x^2 — 8x + 10\) и \(y = 1 + 4x — 2x^2\). Приравниваем:
\(2x^2 — 8x + 10 = 1 + 4x — 2x^2\).

Переносим все влево:
\(2x^2 — 8x + 10 — 1 — 4x + 2x^2 = 0\),
\(4x^2 — 12x + 9 = 0\).

Это полный квадрат:
\((2x — 3)^2 = 0\),
\(2x — 3 = 0\),
\(x = \frac{3}{2}\).

Находим \(y\):
\(y = 1 + 4 \cdot \frac{3}{2} — 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 1 + 6 — 2 \cdot \frac{9}{4} = 7 — \frac{9}{2} = 2.5\).

Ответ: \(\left(\frac{3}{2}; 2.5\right)\) или \((1.5; 2.5)\).