ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 131 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1)
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 + 2xy = 100, \\
y — x = 6;
\end{cases}\)
2)
\(\begin{cases}
x^2 + 4xy + 4y^2 = 1, \\
2x^2 — 3xy + y^2 = 6;
\end{cases}\)
3)
\(\begin{cases}
xy + x^2 = 30, \\
xy + y^2 = -5;
\end{cases}\)
4)
\(\begin{cases}
2y^2 — 3x^2 = 1, \\
3x^2 + 2y^2 = 19;
\end{cases}\)
5)
\(\begin{cases}
2xy — x = 9, \\
2xy + 5y = 22;
\end{cases}\)
6)
\(\begin{cases}
x^2 + 16y^2 = 73, \\
xy = -6.
\end{cases}\)

1) Из второго уравнения \(y = x + 6\). Подставляем в первое:
\(x^2 + (x+6)^2 + 2x(x+6) = 100\),
решаем квадратное уравнение:
\(x_1 = -8, x_2 = 2\),
соответственно \(y_1 = -2, y_2 = 8\).
Ответ: \((-8; -2), (2; 8)\).

2) Из первого уравнения \((x + 2y)^2 = 1\), значит \(x + 2y = \pm 1\). Подставляем во второе и решаем квадратное уравнение по \(y\), получаем четыре решения:
\((1; -1), (-\frac{8}{15}; \frac{4}{15}), (\frac{8}{15}; -\frac{4}{15}), (-1; 1)\).
Ответ: \((1; -1), (-\frac{8}{15}; \frac{4}{15}), (\frac{8}{15}; -\frac{4}{15}), (-1; 1)\).

3) Делим первое уравнение на второе, получаем \(\frac{x}{y} = -6\), значит \(x = -6y\). Подставляем во второе уравнение, решаем для \(y\): \(y = \pm 1\), тогда \(x = \mp 6\).
Ответ: \((-6; 1), (6; -1)\).

4) Складываем уравнения: \(4y^2 = 20\), значит \(y^2 = 5\), \(y = \pm \sqrt{5}\). Подставляем в первое уравнение, решаем для \(x\): \(x^2 = 3\), \(x = \pm \sqrt{3}\).
Ответ: \((- \sqrt{3}; — \sqrt{5}), (- \sqrt{3}; \sqrt{5}), (\sqrt{3}; — \sqrt{5}), (\sqrt{3}; \sqrt{5})\).

5) Вычитаем первое уравнение из второго: \(5y + x = 13\), \(x = 13 — 5y\). Подставляем во второе уравнение, решаем квадратное уравнение по \(y\), получаем \(y_1 = \frac{11}{10}, y_2 = 2\), тогда \(x_1 = 7.5, x_2 = 3\).
Ответ: \((7.5; 1.1), (3; 2)\).

6) Из второго уравнения \(xy = -6\), значит \(y = -\frac{6}{x}\). Подставляем в первое уравнение:
\(x^2 + 16 \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 73\),
решаем уравнение для \(x^2\): \(x^2 = 9\) или \(64\), значит \(x = \pm 3\) или \(x = \pm 8\). Соответственно \(y = -\frac{6}{x}\).
Ответ: \((-3; 2), (3; -2), (-8; 0.75), (8; -0.75)\).

1) Из второго уравнения \(y — x = 6\) выразим \(y\):
\(y = x + 6\).
Подставим в первое уравнение:
\(x^2 + (x + 6)^2 + 2x(x + 6) = 100\).
Раскроем скобки:
\(x^2 + x^2 + 12x + 36 + 2x^2 + 12x = 100\),
соберём подобные:
\(4x^2 + 24x + 36 = 100\),
приведём к виду:
\(4x^2 + 24x — 64 = 0\),
разделим на 4:
\(x^2 + 6x — 16 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100\).
Найдём корни:
\(x_1 = \frac{-6 — 10}{2} = -8\),
\(x_2 = \frac{-6 + 10}{2} = 2\).
Тогда
\(y_1 = -8 + 6 = -2\),
\(y_2 = 2 + 6 = 8\).
Ответ: \((-8; -2), (2; 8)\).

2) Из первого уравнения:
\(x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2 = 1\),
значит
\(x + 2y = \pm 1\).
Выразим \(x\):
\(x = -2y \pm 1\).
Подставим во второе уравнение:
\(2x^2 — 3xy + y^2 = 6\).
Подставим \(x = -2y + 1\):
\(2(-2y + 1)^2 — 3y(-2y + 1) + y^2 = 6\),
раскроем скобки:
\(2(4y^2 — 4y + 1) + 6y^2 — 3y + y^2 = 6\),
упростим:
\(8y^2 — 8y + 2 + 6y^2 — 3y + y^2 = 6\),
соберём подобные:
\(15y^2 — 11y + 2 = 6\),
перенесём 6 влево:
\(15y^2 — 11y — 4 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-11)^2 — 4 \cdot 15 \cdot (-4) = 121 + 240 = 361\).
Найдём корни:
\(y_1 = \frac{11 — 19}{2 \cdot 15} = \frac{-8}{30} = -\frac{4}{15}\),
\(y_2 = \frac{11 + 19}{2 \cdot 15} = \frac{30}{30} = 1\).
Найдём соответствующие \(x\):
для \(y_1 = -\frac{4}{15}\),
\(x_1 = -2 \cdot \left(-\frac{4}{15}\right) + 1 = \frac{8}{15} + 1 = \frac{23}{15}\),
для \(y_2 = 1\),
\(x_2 = -2 \cdot 1 + 1 = -1\).
Аналогично для \(x = -2y — 1\) получаем:
\(y_3 = -\frac{4}{15}\), \(x_3 = -\frac{7}{15}\),
\(y_4 = 1\), \(x_4 = -3\).
Ответ: \(\left(1; -1\right), \left(-\frac{8}{15}; \frac{4}{15}\right), \left(\frac{8}{15}; -\frac{4}{15}\right), (-1; 1)\).

3) Разделим первое уравнение на второе:
\(\frac{xy + x^2}{xy + y^2} = \frac{30}{-5}\),
что даёт
\(\frac{x(y + x)}{y(y + x)} = -6\),
откуда
\(\frac{x}{y} = -6\),
значит
\(x = -6y\).
Подставим во второе уравнение:
\(xy + y^2 = y(-6y) + y^2 = -6y^2 + y^2 = -5y^2 = -5\),
откуда
\(y^2 = 1\),
\(y = \pm 1\).
Тогда
\(x = -6 \cdot (\pm 1) = \mp 6\).
Ответ: \((-6; 1), (6; -1)\).

4) Сложим уравнения:
\(2y^2 — 3x^2 + 3x^2 + 2y^2 = 1 + 19\),
\(4y^2 = 20\),
\(y^2 = 5\),
\(y = \pm \sqrt{5}\).
Подставим в первое уравнение:
\(2y^2 — 3x^2 = 1\),
\(2 \cdot 5 — 3x^2 = 1\),
\(10 — 3x^2 = 1\),
\(3x^2 = 9\),
\(x^2 = 3\),
\(x = \pm \sqrt{3}\).
Ответ: \((- \sqrt{3}; — \sqrt{5}), (- \sqrt{3}; \sqrt{5}), (\sqrt{3}; — \sqrt{5}), (\sqrt{3}; \sqrt{5})\).

5) Вычтем первое уравнение из второго:
\((2xy + 5y) — (2xy — x) = 22 — 9\),
\(5y + x = 13\),
\(x = 13 — 5y\).
Подставим во второе уравнение:
\(2xy + 5y = 22\),
\(2y(13 — 5y) + 5y = 22\),
\(26y — 10y^2 + 5y = 22\),
\(31y — 10y^2 = 22\),
перепишем:
\(10y^2 — 31y + 22 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-31)^2 — 4 \cdot 10 \cdot 22 = 961 — 880 = 81\).
Найдём корни:
\(y_1 = \frac{31 — 9}{2 \cdot 10} = \frac{22}{20} = 1.1\),
\(y_2 = \frac{31 + 9}{2 \cdot 10} = \frac{40}{20} = 2\).
Найдём \(x\):
\(x_1 = 13 — 5 \cdot 1.1 = 7.5\),
\(x_2 = 13 — 5 \cdot 2 = 3\).
Ответ: \((7.5; 1.1), (3; 2)\).

6) Из второго уравнения:
\(xy = -6\),
\(y = -\frac{6}{x}\).
Подставим в первое уравнение:
\(x^2 + 16y^2 = 73\),
\(x^2 + 16 \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 73\),
\(x^2 + 16 \frac{36}{x^2} = 73\),
\(x^2 + \frac{576}{x^2} = 73\).
Умножим на \(x^2\):
\(x^4 — 73x^2 + 576 = 0\).
Пусть \(u = x^2\), тогда:
\(u^2 — 73u + 576 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = 73^2 — 4 \cdot 576 = 5329 — 2304 = 3025\).
Найдём корни:
\(u_1 = \frac{73 — 55}{2} = 9\),
\(u_2 = \frac{73 + 55}{2} = 64\).
Тогда
\(x_1 = \pm 3\),
\(x_2 = \pm 8\).
Найдём \(y\):
для \(x = 3\), \(y = -\frac{6}{3} = -2\),
для \(x = -3\), \(y = -\frac{6}{-3} = 2\),
для \(x = 8\), \(y = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} = -0.75\),
для \(x = -8\), \(y = -\frac{6}{-8} = \frac{3}{4} = 0.75\).
Ответ: \((-3; 2), (3; -2), (-8; 0.75), (8; -0.75)\).