ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 132 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1)
\(\begin{cases}
4x^2 — y^2 = 32, \\
xy = 6;
\end{cases}\)
2)
\(\begin{cases}
x + y + xy = -19, \\
xy(x + y) = -20;
\end{cases}\)
3)
\(\begin{cases}
x^3 — y^3 = 98, \\
x — y = 2;
\end{cases}\)
4)
\(\begin{cases}
\frac{y}{x} — \frac{x}{y} = \frac{16}{15}, \\
4y — 5x = 15;
\end{cases}\)
5)
\(\begin{cases}
\frac{3}{2x + 5y} — \frac{2}{3x — 10y} = 4, \\
\frac{2}{2x + 5y} + \frac{3}{8x — 10y} = 7;
\end{cases}\)
6)
\(\begin{cases}
\frac{x + 3y}{2x — y} + \frac{6(2x — y)}{x + 3y} = 5, \\
x^2 — xy — y^2 = 1.
\end{cases}\)

1) Из второго уравнения: \(xy = 6\); \(y = \frac{6}{x}\);

Из первого уравнения: \(4x^2 — y^2 = 32\); \(4x^2 — \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 32\); \(4x^2 — \frac{36}{x^2} = 32 \quad | \cdot x^2\); \(4x^4 — 36 = 32x^2\);

Пусть \(u = x^2\), тогда: \(4u^2 — 32u — 36 = 0 \quad | : 4\); \(u^2 — 8u — 9 = 0\);

\(D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100\), тогда: \(u_1 = \frac{8 — 10}{2} = -1\) и \(u_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9\);

\(x_1 = -\sqrt{9} = -3\) и \(x_2 = +\sqrt{9} = 3\);

\(y_1 = \frac{6}{-3} = -2\) и \(y_2 = \frac{6}{3} = 2\);

Ответ: \((-3; -2); (3; 2)\).

2) Пусть \(t = x + y\) и \(u = xy\), тогда: \(\begin{cases} t + u = -19 \\ tu = -20 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} t = -u — 19 \\ tu = -20 \end{cases}\);

\((-u — 19)u = -20\); \(-u^2 — 19u = -20\); \(u^2 + 19u — 20 = 0\);

\(D = 19^2 + 4 \cdot 20 = 361 + 80 = 441\), тогда:

\(u_1 = \frac{-19 — 21}{2} = -20\) и \(u_2 = \frac{-19 + 21}{2} = 1\);

\(t_1 = -(-20) — 19 = 1\) и \(t_2 = -1 — 19 = -20\);

Первая система уравнений: \(\begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -20 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 1 — x \\ xy = -20 \end{cases}\);

\(x(1 — x) = -20\); \(x — x^2 = -20\); \(x^2 — x — 20 = 0\);

\(D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81\), тогда:

\(x_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4\) и \(x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5\);

\(y_1 = 1 + 4 = 5\) и \(y_2 = 1 — 5 = -4\);

Вторая система уравнений: \(\begin{cases} x + y = -20 \\ xy = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -20 — x \\ xy = 1 \end{cases}\);

\(x(-20 — x) = 1\); \(-20x — x^2 = 1\); \(x^2 + 20x + 1 = 0\);

\(D = 20^2 — 4 = 400 — 4 = 396 = 36 \cdot 11\), тогда:

\(x = \frac{-20 \pm 6\sqrt{11}}{2} = -10 \pm 3\sqrt{11}\);

\(y = -20 — (-10 \pm 3\sqrt{11}) = -10 \mp 3\sqrt{11}\);

Ответ: \((-4; 5); (5; -4); (-10 — 3\sqrt{11}; -10 + 3\sqrt{11}); (-10 + 3\sqrt{11}; -10 — 3\sqrt{11})\).

3) Из второго уравнения: \(x — y = 2\); \(y = x — 2\);

Из первого уравнения: \(x^3 — y^3 = 98\);

\((x — y)(x^2 + xy + y^2) = 98\);

\(2(x^2 + x(x — 2) + (x — 2)^2) = 98\);

\(x^2 + x^2 — 2x + x^2 — 4x + 4 = 49\);

\(3x^2 — 6x — 45 = 0 \quad | : 3\);

\(x^2 — 2x — 15 = 0\);

\(D = 2^2 + 4 \cdot 15 = 4 + 60 = 64\), тогда:

\(x_1 = \frac{2 — 8}{2} = -3\) и \(x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5\);

\(y_1 = -3 — 2 = -5\) и \(y_2 = 5 — 2 = 3\);

Ответ: \((-3; -5); (5; 3)\).

4) Пусть \(u = \frac{y}{x}\), тогда:

\(u — \frac{1}{u} = \frac{16}{15} \quad | \cdot 15u\);

\(15u^2 — 15 = 16u\);

\(15u^2 — 16u — 15 = 0\);

\(D = 16^2 + 4 \cdot 15 \cdot 15 = 256 + 900 = 1156\), тогда:

\(u_1 = \frac{16 — 34}{2 \cdot 15} = \frac{-18}{30} = -\frac{9}{15}\);

\(u_2 = \frac{16 + 34}{2 \cdot 15} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}\);

Первая система уравнений: \(\begin{cases} \frac{y}{x} = -\frac{9}{15} \\ 4y — 5x = 15 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -\frac{9x}{15} \\ 4y — 5x = 15 \end{cases}\);

\(4 \cdot \left(-\frac{9x}{15}\right) — 5x = 15 \quad | \cdot 15\);

\(-4 \cdot 9x — 15 \cdot 5x = 15 \cdot 15\);

\(-36x — 75x = 225\);

\(-111x = 225\);

\(x = -\frac{225}{111} = -\frac{75}{37} = -2 \frac{1}{37}\);

\(y = -\frac{9}{15} \cdot \left(-\frac{75}{37}\right) = 9 \cdot \frac{5}{37} = \frac{45}{37} = 1 \frac{8}{37}\);

Вторая система уравнений: \(\begin{cases} \frac{y}{x} = \frac{5}{3} \\ 4y — 5x = 15 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = \frac{5x}{3} \\ 4y — 5x = 15 \end{cases}\);

\(4 \cdot \frac{5x}{3} — 5x = 15 \quad | \cdot 3\);

\(4 \cdot 5x — 3 \cdot 5x = 3 \cdot 15\);

\(20x — 15x = 45\);

\(5x = 45\);

\(x = 9\);

\(y = \frac{5}{3} \cdot 9 = 5 \cdot 3 = 15\);

Ответ: \(\left(-2 \frac{1}{37}; 1 \frac{8}{37}\right); (9; 15)\).

5) Пусть \(t = \frac{1}{2x + 5y}\) и \(u = \frac{1}{3x — 10y}\), тогда:

\(\begin{cases} 3t — 2u = 4 \\ 2t + 3u = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} t = \frac{4 + 2u}{3} \\ t = \frac{7 — 3u}{2} \end{cases}\);

\(\frac{4 + 2u}{3} = \frac{7 — 3u}{2} \quad | \cdot 6\);

\(2(4 + 2u) = 3(7 — 3u)\);

\(8 + 4u = 21 — 9u\);

\(13u = 13\);

\(u = 1\);

\(t = \frac{4 + 2 \cdot 1}{3} = \frac{4 + 2}{3} = \frac{6}{3} = 2\);

Получим систему уравнений:

\(\begin{cases} \frac{1}{2x + 5y} = 2 \\ \frac{1}{3x — 10y} = 1 \end{cases}\);

Из первого уравнения: \(2x + 5y = \frac{1}{2}\);

\(2x + 5y = \frac{1}{2} \quad | \cdot 2\);

\(4x + 10y = 1\);

\(4x = 1 — 10y\);

\(x = 0.25 — 2.5y\);

Из второго уравнения: \(3x — 10y = 1\);

\(3(0.25 — 2.5y) — 10y = 1\);

\(0.75 — 7.5y — 10y = 1\);

\(-17.5y = 0.25\);

\(y = -\frac{0.25}{17.5} = -\frac{25}{1750} = -\frac{1}{70}\);

\(x = \frac{1}{4} — \frac{5}{2} \cdot \left(-\frac{1}{70}\right) = \frac{7}{28} + \frac{1}{28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}\);

Ответ: \(\left(\frac{2}{7}; -\frac{1}{70}\right)\).

6) Пусть \(u = \frac{x + 3y}{2x — y}\), тогда:

\(u + \frac{6}{u} = 5 \quad | \cdot u\);

\(u^2 + 6 = 5u\);

\(u^2 — 5u + 6 = 0\);

\(D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\), тогда:

\(u_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2\) и \(u_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3\);

Первая система уравнений:

\(\begin{cases} \frac{x + 3y}{2x — y} = 2 \\ x^2 — xy — y^2 = 1 \end{cases}\);

\(x + 3y = 2(2x — y) \Rightarrow y = \frac{3x}{5}\);

\(x^2 — x \cdot \frac{3x}{5} — \left(\frac{3x}{5}\right)^2 = 1\);

\(x^2 — \frac{3x^2}{5} — \frac{9x^2}{25} = 1 \quad | \cdot 25\);

\(25x^2 — 15x^2 — 9x^2 = 25\);

\(x^2 = 25\);

\(x = \pm 5\);

\(y = \frac{3}{5} \cdot (\pm 5) = \pm 3\);

Вторая система уравнений:

\(\begin{cases} \frac{x + 3y}{2x — y} = 3 \\ x^2 — xy — y^2 = 1 \end{cases}\);

\(x + 3y = 3(2x — y) \Rightarrow y = \frac{5x}{6}\);

\(x^2 — x \cdot \frac{5x}{6} — \left(\frac{5x}{6}\right)^2 = 1\);

\(x^2 — \frac{5x^2}{6} — \frac{25x^2}{36} = 1 \quad | \cdot 36\);

\(36x^2 — 30x^2 — 25x^2 = 36\);

\(-19x^2 = 36\);

\(x^2 = \frac{36}{-19}\);

\(x \in \emptyset\);

Ответ: \((-5; -3); (5; 3)\).

1) Из второго уравнения системы \(xy = 6\), выразим \(y = \frac{6}{x}\).

Подставим в первое уравнение: \(4x^2 — y^2 = 32\), получаем \(4x^2 — \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 32\), что равно \(4x^2 — \frac{36}{x^2} = 32\).

Умножим обе части на \(x^2\): \(4x^4 — 36 = 32x^2\).

Обозначим \(u = x^2\), тогда уравнение принимает вид \(4u^2 — 32u — 36 = 0\).

Разделим на 4: \(u^2 — 8u — 9 = 0\).

Вычислим дискриминант: \(D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\).

Корни: \(u_1 = \frac{8 — 10}{2} = -1\), \(u_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9\).

Так как \(u = x^2\), отрицательный корень \(u_1 = -1\) отбрасываем.

Из \(x^2 = 9\) получаем \(x = \pm 3\).

При \(x = 3\), \(y = \frac{6}{3} = 2\).

При \(x = -3\), \(y = \frac{6}{-3} = -2\).

Ответ: \((-3; -2)\), \((3; 2)\).

2) Обозначим \(t = x + y\), \(u = xy\).

Из системы: \(t + u = -19\), \(tu = -20\).

Из первого уравнения выразим \(t = -19 — u\).

Подставим во второе: \((-19 — u)u = -20\) или \(-u^2 — 19u = -20\).

Перенесём все в левую часть: \(u^2 + 19u — 20 = 0\).

Вычислим дискриминант: \(D = 19^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 361 + 80 = 441\).

Корни: \(u_1 = \frac{-19 — 21}{2} = -20\), \(u_2 = \frac{-19 + 21}{2} = 1\).

Для каждого корня найдём \(t\):

При \(u = -20\), \(t = -19 — (-20) = 1\).

При \(u = 1\), \(t = -19 — 1 = -20\).

Рассмотрим систему при \(t = 1\), \(u = -20\):

\(x + y = 1\), \(xy = -20\).

Квадратное уравнение: \(x^2 — t x + u = 0\) или \(x^2 — x — 20 = 0\).

Дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\).

Корни: \(x_1 = \frac{1 — 9}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5\).

Соответственно \(y_1 = 1 — (-4) = 5\), \(y_2 = 1 — 5 = -4\).

Рассмотрим систему при \(t = -20\), \(u = 1\):

\(x + y = -20\), \(xy = 1\).

Квадратное уравнение: \(x^2 + 20x + 1 = 0\).

Дискриминант: \(D = 20^2 — 4 \cdot 1 = 400 — 4 = 396 = 36 \cdot 11\).

Корни: \(x = \frac{-20 \pm 6 \sqrt{11}}{2} = -10 \pm 3 \sqrt{11}\).

Соответственно \(y = -20 — x = -10 \mp 3 \sqrt{11}\).

Ответ: \((-4; 5)\), \((5; -4)\), \(\left(-10 — 3 \sqrt{11}; -10 + 3 \sqrt{11}\right)\), \(\left(-10 + 3 \sqrt{11}; -10 — 3 \sqrt{11}\right)\).

3) Из второго уравнения: \(x — y = 2\), значит \(y = x — 2\).

Подставим в первое уравнение: \(x^3 — y^3 = 98\).

Используем формулу разности кубов: \((x — y)(x^2 + xy + y^2) = 98\).

Подставим \(x — y = 2\), получаем \(2(x^2 + x(x — 2) + (x — 2)^2) = 98\).

Раскроем скобки: \(2(x^2 + x^2 — 2x + x^2 — 4x + 4) = 98\).

Упростим: \(2(3x^2 — 6x + 4) = 98\).

Раскроем: \(6x^2 — 12x + 8 = 98\).

Перенесём все в левую часть: \(6x^2 — 12x + 8 — 98 = 0\), то есть \(6x^2 — 12x — 90 = 0\).

Разделим на 6: \(x^2 — 2x — 15 = 0\).

Вычислим дискриминант: \(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\).

Корни: \(x_1 = \frac{2 — 8}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5\).

Тогда \(y_1 = -3 — 2 = -5\), \(y_2 = 5 — 2 = 3\).

Ответ: \((-3; -5)\), \((5; 3)\).

4) Пусть \(u = \frac{y}{x}\).

Из первого уравнения: \(u — \frac{1}{u} = \frac{16}{15}\).

Умножим обе части на \(15u\): \(15u^2 — 15 = 16u\).

Перенесём все в левую часть: \(15u^2 — 16u — 15 = 0\).

Вычислим дискриминант: \(D = (-16)^2 — 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 256 + 900 = 1156\).

Корни: \(u_1 = \frac{16 — 34}{30} = -\frac{18}{30} = -\frac{3}{5}\), \(u_2 = \frac{16 + 34}{30} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}\).

Рассмотрим \(u_1 = -\frac{3}{5}\):

\(y = u_1 x = -\frac{3}{5} x\).

Подставим во второе уравнение: \(4y — 5x = 15\), получаем \(4 \cdot \left(-\frac{3}{5} x\right) — 5x = 15\).

Упростим: \(-\frac{12}{5} x — 5x = 15\).

Приведём к общему знаменателю: \(-\frac{12}{5} x — \frac{25}{5} x = 15\).

Сложим: \(-\frac{37}{5} x = 15\).

Умножим обе части на \(5\): \(-37 x = 75\).

Получаем \(x = -\frac{75}{37}\).

Тогда \(y = -\frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{75}{37}\right) = \frac{225}{185} = \frac{45}{37}\).

Рассмотрим \(u_2 = \frac{5}{3}\):

\(y = \frac{5}{3} x\).

Подставим во второе уравнение: \(4y — 5x = 15\), получаем \(4 \cdot \frac{5}{3} x — 5x = 15\).

Упростим: \(\frac{20}{3} x — 5x = 15\).

Приведём к общему знаменателю: \(\frac{20}{3} x — \frac{15}{3} x = 15\).

Сложим: \(\frac{5}{3} x = 15\).

Умножим обе части на 3: \(5 x = 45\).

Получаем \(x = 9\).

Тогда \(y = \frac{5}{3} \cdot 9 = 15\).

Ответ: \(\left(-\frac{75}{37}; \frac{45}{37}\right)\), \((9; 15)\).

5) Обозначим \(t = \frac{1}{2x + 5y}\), \(u = \frac{1}{3x — 10y}\).

Из системы:

\(3t — 2u = 4\),

\(2t + 3u = 7\).

Решим систему относительно \(t\) и \(u\).

Умножим первое уравнение на 3: \(9t — 6u = 12\).

Умножим второе уравнение на 2: \(4t + 6u = 14\).

Сложим: \(13t = 26\), откуда \(t = 2\).

Подставим в первое уравнение: \(3 \cdot 2 — 2u = 4\), значит \(6 — 2u = 4\), откуда \(2u = 2\), \(u = 1\).

Вернёмся к определениям:

\(\frac{1}{2x + 5y} = 2\), значит \(2x + 5y = \frac{1}{2}\).

\(\frac{1}{3x — 10y} = 1\), значит \(3x — 10y = 1\).

Решим систему:

\(2x + 5y = \frac{1}{2}\),

\(3x — 10y = 1\).

Умножим первое уравнение на 2: \(4x + 10y = 1\).

Сложим с вторым уравнением: \(3x — 10y = 1\).

Сложение даёт: \(7x = 2\), значит \(x = \frac{2}{7}\).

Подставим в первое уравнение: \(2 \cdot \frac{2}{7} + 5y = \frac{1}{2}\), значит \(\frac{4}{7} + 5y = \frac{1}{2}\).

Вычислим: \(5y = \frac{1}{2} — \frac{4}{7} = \frac{7}{14} — \frac{8}{14} = -\frac{1}{14}\).

Получаем \(y = -\frac{1}{70}\).

Ответ: \(\left(\frac{2}{7}; -\frac{1}{70}\right)\).

6) Пусть \(u = \frac{x + 3y}{2x — y}\).

Из первого уравнения: \(u + \frac{6}{u} = 5\).

Умножим обе части на \(u\): \(u^2 + 6 = 5u\).

Перенесём в левую часть: \(u^2 — 5u + 6 = 0\).

Вычислим дискриминант: \(D = 25 — 24 = 1\).

Корни: \(u_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2\), \(u_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3\).

Рассмотрим \(u = 2\):

\(\frac{x + 3y}{2x — y} = 2\).

Умножим: \(x + 3y = 2(2x — y) = 4x — 2y\).

Перенесём все в левую часть: \(x + 3y — 4x + 2y = 0\), или \(-3x + 5y = 0\).

Выразим \(y = \frac{3}{5} x\).

Подставим во второе уравнение: \(x^2 — x y — y^2 = 1\).

Подставим \(y\): \(x^2 — x \cdot \frac{3}{5} x — \left(\frac{3}{5} x\right)^2 = 1\).

Упрощаем: \(x^2 — \frac{3}{5} x^2 — \frac{9}{25} x^2 = 1\).

Общий знаменатель 25: \(\frac{25}{25} x^2 — \frac{15}{25} x^2 — \frac{9}{25} x^2 = 1\).

Складываем: \(\frac{25 — 15 — 9}{25} x^2 = 1\), то есть \(\frac{1}{25} x^2 = 1\).

Отсюда \(x^2 = 25\), значит \(x = \pm 5\).

Тогда \(y = \frac{3}{5} \cdot (\pm 5) = \pm 3\).

Рассмотрим \(u = 3\):

\(\frac{x + 3y}{2x — y} = 3\).

Умножим: \(x + 3y = 3(2x — y) = 6x — 3y\).

Перенесём все в левую часть: \(x + 3y — 6x + 3y = 0\), или \(-5x + 6y = 0\).

Выразим \(y = \frac{5}{6} x\).

Подставим во второе уравнение: \(x^2 — x y — y^2 = 1\).

Подставим \(y\): \(x^2 — x \cdot \frac{5}{6} x — \left(\frac{5}{6} x\right)^2 = 1\).

Упрощаем: \(x^2 — \frac{5}{6} x^2 — \frac{25}{36} x^2 = 1\).

Общий знаменатель 36: \(\frac{36}{36} x^2 — \frac{30}{36} x^2 — \frac{25}{36} x^2 = 1\).

Складываем: \(\frac{36 — 30 — 25}{36} x^2 = 1\), то есть \(-\frac{19}{36} x^2 = 1\).

Отсюда \(x^2 = -\frac{36}{19}\), что невозможно для вещественных чисел.

Ответ: \((-5; -3)\), \((5; 3)\).