ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 132 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1)
\(\begin{cases}
4x^2 — y^2 = 32, \\
xy = 6;
\end{cases}\)
2)
\(\begin{cases}
x + y + xy = -19, \\
xy(x + y) = -20;
\end{cases}\)
3)
\(\begin{cases}
x^3 — y^3 = 98, \\
x — y = 2;
\end{cases}\)
4)
\(\begin{cases}
\frac{y}{x} — \frac{x}{y} = \frac{16}{15}, \\
4y — 5x = 15;
\end{cases}\)
5)
\(\begin{cases}
\frac{3}{2x + 5y} — \frac{2}{3x — 10y} = 4, \\
\frac{2}{2x + 5y} + \frac{3}{8x — 10y} = 7;
\end{cases}\)
6)
\(\begin{cases}
\frac{x + 3y}{2x — y} + \frac{6(2x — y)}{x + 3y} = 5, \\
x^2 — xy — y^2 = 1.
\end{cases}\)

1)
\(\begin{cases}
4x^2 — y^2 = 32, \\
xy = 6
\end{cases}\)
Подставим \(y = \frac{6}{x}\):
\(4x^2 — \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 32\),
\(4x^4 — 36 = 32x^2\),
\(4x^4 — 32x^2 — 36 = 0\).
Пусть \(u = x^2\), тогда:
\(4u^2 — 32u — 36 = 0\),
\(u^2 — 8u — 9 = 0\),
\(u_1 = 9, u_2 = -1\) (отрицательное отбрасываем).
\(x = \pm 3\), \(y = \frac{6}{x}\),
Ответ: \((-3; -2), (3; 2)\).

2)
\(\begin{cases}
x + y + xy = -19, \\
xy(x + y) = -20
\end{cases}\)
Пусть \(t = x + y\), \(u = xy\), тогда:
\(\begin{cases}
t + u = -19, \\
tu = -20
\end{cases}\)
Решаем:
\(u^2 + 19u — 20 = 0\),
\(u_1 = 1, u_2 = -20\).
Для \(u=1\):
\(\begin{cases}
x + y = -20, \\
xy = 1
\end{cases}\),
решаем квадратное уравнение:
\(x^2 + 20x + 1 = 0\),
\(x = -10 \pm 3\sqrt{11}\),
\(y = -20 — x\).
Ответ: \(\left(-10 — 3\sqrt{11}; 5 + 3\sqrt{11}\right), \left(-10 + 3\sqrt{11}; 5 — 3\sqrt{11}\right)\).

3)
\(\begin{cases}
x^3 — y^3 = 98, \\
x — y = 2
\end{cases}\)
Используем формулу:
\((x — y)(x^2 + xy + y^2) = 98\),
\(2(x^2 + xy + y^2) = 98\),
\(x^2 + xy + y^2 = 49\).
Подставляем \(y = x — 2\):
\(x^2 + x(x — 2) + (x — 2)^2 = 49\),
\(3x^2 — 6x — 45 = 0\),
\(x^2 — 2x — 15 = 0\),
\(x = 5\) или \(x = -3\),
\(y = 3\) или \(y = -5\).
Ответ: \((-3; -5), (5; 3)\).

4)
\(\begin{cases}
\frac{y}{x} — \frac{x}{y} = \frac{16}{15}, \\
4y — 5x = 15
\end{cases}\)
Пусть \(u = \frac{y}{x}\), тогда:
\(u — \frac{1}{u} = \frac{16}{15}\),
\(15u^2 — 16u — 15 = 0\),
\(u_1 = \frac{9}{5}, u_2 = -\frac{5}{3}\).
Для каждого \(u\) решаем систему:
\(4y — 5x = 15\), \(y = ux\).
Ответ: \(\left(-\frac{1}{37}; \frac{8}{37}\right), (9; 15)\).

5)
\(\begin{cases}
\frac{3}{2x + 5y} — \frac{2}{3x — 10y} = 4, \\
\frac{2}{2x + 5y} + \frac{3}{3x — 10y} = 7
\end{cases}\)
Пусть \(t = \frac{1}{2x + 5y}\), \(u = \frac{1}{3x — 10y}\), тогда:
\(\begin{cases}
3t — 2u = 4, \\
2t + 3u = 7
\end{cases}\)
Решаем:
\(t = 2\), \(u = 1\).
Отсюда:
\(2x + 5y = \frac{1}{2}\),
\(3x — 10y = 1\).
Решаем систему:
\(x = \frac{2}{7}\), \(y = -\frac{1}{70}\).

6)
\(\begin{cases}
\frac{x + 3y}{2x — y} + \frac{6(2x — y)}{x + 3y} = 5, \\
x^2 — xy — y^2 = 1
\end{cases}\)
Пусть \(u = \frac{x + 3y}{2x — y}\), тогда:
\(u + \frac{6}{u} = 5\),
\(u^2 — 5u + 6 = 0\),
\(u_1 = 2, u_2 = 3\).
Для \(u=2\):
\(y = \frac{3x}{5}\), \(x^2 — xy — y^2 = 1\),
\(x = \pm 5\), \(y = \pm 3\).
Для \(u=3\) решений нет.
Ответ: \((-5; -3), (5; 3)\).

1)
Из системы
\(\begin{cases}
4x^2 — y^2 = 32, \\
xy = 6
\end{cases}\)
из второго уравнения выразим \(y\):
\(y = \frac{6}{x}\).
Подставим в первое уравнение:
\(4x^2 — \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 32\),
\(4x^2 — \frac{36}{x^2} = 32\),
умножим обе части на \(x^2\):
\(4x^4 — 36 = 32x^2\),
перенесём все в одну сторону:
\(4x^4 — 32x^2 — 36 = 0\).
Пусть \(u = x^2\), тогда:
\(4u^2 — 32u — 36 = 0\),
разделим на 4:
\(u^2 — 8u — 9 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\).
Корни:
\(u_1 = \frac{8 + 10}{2} = 9\),
\(u_2 = \frac{8 — 10}{2} = -1\) (отрицательное отбрасываем).
Следовательно,
\(x = \pm 3\).
Для \(x = 3\), \(y = \frac{6}{3} = 2\).
Для \(x = -3\), \(y = \frac{6}{-3} = -2\).
Ответ: \((-3; -2), (3; 2)\).

2)
Дана система
\(\begin{cases}
x + y + xy = -19, \\
xy(x + y) = -20
\end{cases}\).
Пусть \(t = x + y\), \(u = xy\), тогда:
\(\begin{cases}
t + u = -19, \\
tu = -20
\end{cases}\).
Из первого уравнения \(t = -19 — u\).
Подставим во второе:
\((-19 — u)u = -20\),
\(-19u — u^2 = -20\),
\(u^2 + 19u — 20 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = 19^2 + 4 \cdot 20 = 361 + 80 = 441\).
Корни:
\(u_1 = \frac{-19 — 21}{2} = -20\),
\(u_2 = \frac{-19 + 21}{2} = 1\).
Для \(u = 1\), из \(t + u = -19\) получаем \(t = -20\).
Решаем систему:
\(\begin{cases}
x + y = -20, \\
xy = 1
\end{cases}\).
Квадратное уравнение:
\(x^2 — tx + u = 0\),
\(x^2 + 20x + 1 = 0\).
Дискриминант:
\(D = 400 — 4 = 396 = 36 \cdot 11\).
Корни:
\(x = \frac{-20 \pm 6\sqrt{11}}{2} = -10 \pm 3\sqrt{11}\),
\(y = -20 — x\).
Ответ: \(\left(-10 — 3\sqrt{11}; 5 + 3\sqrt{11}\right), \left(-10 + 3\sqrt{11}; 5 — 3\sqrt{11}\right)\).

3)
Дана система
\(\begin{cases}
x^3 — y^3 = 98, \\
x — y = 2
\end{cases}\).
Используем формулу разности кубов:
\((x — y)(x^2 + xy + y^2) = 98\),
\(2(x^2 + xy + y^2) = 98\),
\(x^2 + xy + y^2 = 49\).
Подставим \(y = x — 2\):
\(x^2 + x(x — 2) + (x — 2)^2 = 49\),
\(x^2 + x^2 — 2x + x^2 — 4x + 4 = 49\),
\(3x^2 — 6x + 4 = 49\),
\(3x^2 — 6x — 45 = 0\),
разделим на 3:
\(x^2 — 2x — 15 = 0\).
Дискриминант:
\(D = 4 + 60 = 64\).
Корни:
\(x_1 = \frac{2 — 8}{2} = -3\),
\(x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5\).
Тогда \(y_1 = x_1 — 2 = -5\),
\(y_2 = x_2 — 2 = 3\).
Ответ: \((-3; -5), (5; 3)\).

4)
Дана система
\(\begin{cases}
\frac{y}{x} — \frac{x}{y} = \frac{16}{15}, \\
4y — 5x = 15
\end{cases}\).
Пусть \(u = \frac{y}{x}\), тогда:
\(u — \frac{1}{u} = \frac{16}{15}\),
умножим на \(u\):
\(u^2 — 1 = \frac{16}{15} u\),
\(15u^2 — 16u — 15 = 0\).
Дискриминант:
\(D = 16^2 + 4 \cdot 15 \cdot 15 = 256 + 900 = 1156\).
Корни:
\(u_1 = \frac{16 + 34}{30} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}\),
\(u_2 = \frac{16 — 34}{30} = \frac{-18}{30} = -\frac{3}{5}\).
Для каждого \(u\) решаем систему:
\(4y — 5x = 15\), \(y = ux\).
Для \(u_1 = \frac{5}{3}\):
\(4 \cdot \frac{5}{3} x — 5x = 15\),
\(\frac{20}{3} x — 5x = 15\),
\(\frac{20 — 15}{3} x = 15\),
\(\frac{5}{3} x = 15\),
\(x = 9\),
\(y = \frac{5}{3} \cdot 9 = 15\).
Для \(u_2 = -\frac{3}{5}\):
\(4 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) x — 5x = 15\),
\(-\frac{12}{5} x — 5x = 15\),
\(-\frac{12 + 25}{5} x = 15\),
\(-\frac{37}{5} x = 15\),
\(x = -\frac{75}{37} = -2 \frac{1}{37}\),
\(y = -\frac{3}{5} \cdot x = \frac{45}{37} = 1 \frac{8}{37}\).
Ответ: \(\left(-2 \frac{1}{37}; 1 \frac{8}{37}\right), (9; 15)\).

5)
Дана система
\(\begin{cases}
\frac{3}{2x + 5y} — \frac{2}{3x — 10y} = 4, \\
\frac{2}{2x + 5y} + \frac{3}{3x — 10y} = 7
\end{cases}\).
Пусть \(t = \frac{1}{2x + 5y}\), \(u = \frac{1}{3x — 10y}\), тогда:
\(\begin{cases}
3t — 2u = 4, \\
2t + 3u = 7
\end{cases}\).
Умножим первое уравнение на 3, второе на 2 и сложим:
\(9t — 6u = 12\),
\(4t + 6u = 14\),
\(13t = 26\),
\(t = 2\).
Подставим в первое уравнение:
\(3 \cdot 2 — 2u = 4\),
\(6 — 2u = 4\),
\(-2u = -2\),
\(u = 1\).
Отсюда:
\(2x + 5y = \frac{1}{t} = \frac{1}{2}\),
\(3x — 10y = \frac{1}{u} = 1\).
Решаем систему:
\(2x + 5y = \frac{1}{2}\),
\(3x — 10y = 1\).
Умножим первое уравнение на 2:
\(4x + 10y = 1\),
сложим с вторым:
\(3x — 10y = 1\),
\(7x = 2\),
\(x = \frac{2}{7}\).
Подставим в первое:
\(2 \cdot \frac{2}{7} + 5y = \frac{1}{2}\),
\(\frac{4}{7} + 5y = \frac{1}{2}\),
\(5y = \frac{1}{2} — \frac{4}{7} = \frac{7 — 8}{14} = -\frac{1}{14}\),
\(y = -\frac{1}{70}\).
Ответ: \(\left(\frac{2}{7}; -\frac{1}{70}\right)\).

6)
Дана система
\(\begin{cases}
\frac{x + 3y}{2x — y} + \frac{6(2x — y)}{x + 3y} = 5, \\
x^2 — xy — y^2 = 1
\end{cases}\).
Пусть \(u = \frac{x + 3y}{2x — y}\), тогда:
\(u + \frac{6}{u} = 5\),
умножим на \(u\):
\(u^2 — 5u + 6 = 0\).
Дискриминант:
\(D = 25 — 24 = 1\).
Корни:
\(u_1 = 3\), \(u_2 = 2\).
Для \(u = 2\):
\(\frac{x + 3y}{2x — y} = 2\),
\(x + 3y = 2(2x — y) = 4x — 2y\),
\(x + 3y — 4x + 2y = 0\),
\(-3x + 5y = 0\),
\(5y = 3x\),
\(y = \frac{3}{5} x\).
Подставим в \(x^2 — xy — y^2 = 1\):
\(x^2 — x \cdot \frac{3}{5} x — \left(\frac{3}{5} x\right)^2 = 1\),
\(x^2 — \frac{3}{5} x^2 — \frac{9}{25} x^2 = 1\),
\(x^2 \left(1 — \frac{3}{5} — \frac{9}{25}\right) = 1\),
\(x^2 \left(\frac{25}{25} — \frac{15}{25} — \frac{9}{25}\right) = 1\),
\(x^2 \cdot \frac{1}{25} = 1\),
\(x^2 = 25\),
\(x = \pm 5\),
\(y = \frac{3}{5} x = \pm 3\).
Для \(u = 3\):
\(\frac{x + 3y}{2x — y} = 3\),
\(x + 3y = 3(2x — y) = 6x — 3y\),
\(x + 3y — 6x + 3y = 0\),
\(-5x + 6y = 0\),
\(6y = 5x\),
\(y = \frac{5}{6} x\).
Подставим в \(x^2 — xy — y^2 = 1\):
\(x^2 — x \cdot \frac{5}{6} x — \left(\frac{5}{6} x\right)^2 = 1\),
\(x^2 — \frac{5}{6} x^2 — \frac{25}{36} x^2 = 1\),
\(x^2 \left(1 — \frac{5}{6} — \frac{25}{36}\right) = 1\),
\(x^2 \left(\frac{36}{36} — \frac{30}{36} — \frac{25}{36}\right) = 1\),
\(x^2 \cdot \left(-\frac{19}{36}\right) = 1\),
\(x^2 = -\frac{36}{19}\),
корней нет в действительных числах.
Ответ: \((-5; -3), (5; 3)\).