ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 133 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:
1)
\(\begin{cases}
x^2 + xy — 12y^2 = 0, \\
2x^2 — 3xy + y^2 = 90;
\end{cases}\)
2)
\(\begin{cases}
4x^2 — 3xy — y^2 = 14, \\
2x^2 + xy — 3y^2 = 12.
\end{cases}\)

Решить систему уравнений:

1)
\(
\begin{cases}
x^2 + xy — 12y^2 = 0 \\
2x^2 — 3xy + y^2 = 90
\end{cases}
\)

Из первого уравнения:

\(x^2 + y(x) — 12y^2 = 0;\)

\(D = y^2 + 4 \cdot 12 y^2 = y^2 + 48 y^2 = 49 y^2,\) тогда:

\(x_1 = \frac{-y — 7y}{2} = -4y\) и \(x_2 = \frac{-y + 7y}{2} = 3y;\)

Первое значение:

\(2x^2 — 3xy + y^2 = 90;\)

\(2 \cdot (-4y)^2 — 3y \cdot (-4y) + y^2 = 90;\)

\(32 y^2 + 12 y^2 + y^2 = 90;\)

\(45 y^2 = 90;\)

\(y^2 = 2;\)

\(y = \pm \sqrt{2};\)

\(x = -4 \cdot (\pm \sqrt{2}) = \mp 4 \sqrt{2};\)

Второе значение:

\(2x^2 — 3xy + y^2 = 90;\)

\(2 \cdot (3y)^2 — 3y \cdot 3y + y^2 = 90;\)

\(18 y^2 — 9 y^2 + y^2 = 90;\)

\(10 y^2 = 90;\)

\(y^2 = 9;\)

\(y = \pm 3;\)

\(x = 3 \cdot (\pm 3) = \pm 9;\)

Ответ: \((-4 \sqrt{2}; \sqrt{2}); (4 \sqrt{2}; -\sqrt{2}); (-9; -3); (9; 3).\)

2)
\(
\begin{cases}
4x^2 — 3xy — y^2 = 14 \\
2x^2 + xy — 3y^2 = 12
\end{cases}
\)

Пусть \(y = tx,\) тогда:

\(
\begin{cases}
4x^2 — 3t x^2 — t^2 x^2 = 14 \\
2x^2 + t x^2 — 3 t^2 x^2 = 12
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x^2 (4 — 3t — t^2) = 14 \\
x^2 (2 + t — 3 t^2) = 12
\end{cases}
\)

Разделим первое уравнение на второе:

\(\frac{4 — 3t — t^2}{2 + t — 3 t^2} = \frac{7}{6};\)

\(6(4 — 3t — t^2) = 7(2 + t — 3 t^2);\)

\(24 — 18 t — 6 t^2 = 14 + 7 t — 21 t^2;\)

\(15 t^2 — 25 t + 10 = 0 \quad | : 5;\)

\(3 t^2 — 5 t + 2 = 0;\)

\(D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1,\) тогда:

\(t_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};\)

\(t_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1;\)

\(y_1 = \frac{2}{3} x\) и \(y_2 = x;\)

Первое значение:

\(4x^2 — 3xy — y^2 = 14;\)

\(4x^2 — 3x \cdot \frac{2}{3} x — \left(\frac{2}{3} x\right)^2 = 14;\)

\(4x^2 — 2x^2 — \frac{4}{9} x^2 = 14;\)

\(36 x^2 — 18 x^2 — 4 x^2 = 126;\)

\(14 x^2 = 126;\)

\(x^2 = 9;\)

\(x = \pm 3;\)

\(y = \frac{2}{3} \cdot (\pm 3) = \pm 2;\)

Второе значение:

\(4x^2 — 3xy — y^2 = 14;\)

\(4x^2 — 3x^2 — x^2 = 14;\)

\(0 \cdot x^2 = 14;\)

\(x \in \emptyset;\)

Ответ: \((-3; -2); (3; 2).\)

1) Рассмотрим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
x^2 + xy — 12y^2 = 0 \\
2x^2 — 3xy + y^2 = 90
\end{cases}
\)

Из первого уравнения выразим \(x\) как функцию от \(y\). Запишем первое уравнение в виде квадратного уравнения относительно \(x\):
\(x^2 + yx — 12 y^2 = 0.\)

Дискриминант этого уравнения:
\(D = y^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12 y^2) = y^2 + 48 y^2 = 49 y^2.\)

Корни уравнения:
\(x_1 = \frac{-y — 7 y}{2} = \frac{-8 y}{2} = -4 y,\)
\(x_2 = \frac{-y + 7 y}{2} = \frac{6 y}{2} = 3 y.\)

Рассмотрим два случая:

Первое значение \(x = -4 y\).

Подставим в второе уравнение:
\(2 x^2 — 3 x y + y^2 = 90.\)

Подставляем \(x = -4 y\):
\(2 (-4 y)^2 — 3 (-4 y) y + y^2 = 90.\)

Выполним вычисления:
\(2 \cdot 16 y^2 + 12 y^2 + y^2 = 90,\)
\(32 y^2 + 12 y^2 + y^2 = 90,\)
\(45 y^2 = 90,\)
\(y^2 = 2,\)
\(y = \pm \sqrt{2}.\)

Тогда
\(x = -4 y = -4 (\pm \sqrt{2}) = \mp 4 \sqrt{2}.\)

Второе значение \(x = 3 y\).

Подставим в второе уравнение:
\(2 (3 y)^2 — 3 (3 y) y + y^2 = 90.\)

Выполним вычисления:
\(2 \cdot 9 y^2 — 9 y^2 + y^2 = 90,\)
\(18 y^2 — 9 y^2 + y^2 = 90,\)
\(10 y^2 = 90,\)
\(y^2 = 9,\)
\(y = \pm 3.\)

Тогда
\(x = 3 y = 3 (\pm 3) = \pm 9.\)

Ответ: \((-4 \sqrt{2}; \sqrt{2}); (4 \sqrt{2}; -\sqrt{2}); (-9; -3); (9; 3).\)

2) Рассмотрим систему уравнений:
\(
\begin{cases}
4 x^2 — 3 x y — y^2 = 14 \\
2 x^2 + x y — 3 y^2 = 12
\end{cases}
\)

Пусть \(y = t x\), тогда система примет вид:
\(
\begin{cases}
4 x^2 — 3 t x^2 — t^2 x^2 = 14 \\
2 x^2 + t x^2 — 3 t^2 x^2 = 12
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x^2 (4 — 3 t — t^2) = 14 \\
x^2 (2 + t — 3 t^2) = 12
\end{cases}
\)

Разделим первое уравнение на второе:
\(\frac{4 — 3 t — t^2}{2 + t — 3 t^2} = \frac{7}{6}.\)

Умножим обе части на знаменатели:
\(6 (4 — 3 t — t^2) = 7 (2 + t — 3 t^2).\)

Раскроем скобки:
\(24 — 18 t — 6 t^2 = 14 + 7 t — 21 t^2.\)

Перенесём все члены в одну сторону:
\(24 — 18 t — 6 t^2 — 14 — 7 t + 21 t^2 = 0,\)
\(10 — 25 t + 15 t^2 = 0.\)

Разделим на 5:
\(2 — 5 t + 3 t^2 = 0.\)

Перепишем в стандартном виде:
\(3 t^2 — 5 t + 2 = 0.\)

Вычислим дискриминант:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1.\)

Найдём корни:
\(t_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3},\)
\(t_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1.\)

Для \(t_1 = \frac{2}{3}\), \(y = \frac{2}{3} x.\)

Подставим в первое уравнение:
\(4 x^2 — 3 x y — y^2 = 14.\)

Подставляем \(y = \frac{2}{3} x\):
\(4 x^2 — 3 x \cdot \frac{2}{3} x — \left(\frac{2}{3} x\right)^2 = 14.\)

Выполним вычисления:
\(4 x^2 — 2 x^2 — \frac{4}{9} x^2 = 14,\)
\(\left(4 — 2 — \frac{4}{9}\right) x^2 = 14,\)
\(\frac{36}{9} — \frac{18}{9} — \frac{4}{9} = \frac{14}{1},\)
\(\frac{14}{9} x^2 = 14,\)
\(x^2 = 9,\)
\(x = \pm 3.\)

Тогда
\(y = \frac{2}{3} x = \frac{2}{3} (\pm 3) = \pm 2.\)

Для \(t_2 = 1\), \(y = x.\)

Подставим в первое уравнение:
\(4 x^2 — 3 x^2 — x^2 = 14,\)
\(0 = 14.\)

Это невозможно, значит решений при \(t=1\) нет.

Ответ: \((-3; -2); (3; 2).\)