ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 134 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Сколько решений в зависимости от значения \(a\) имеет система уравнений:
1)
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = 2, \\
y = a — x;
\end{cases}\)
2)
\(\begin{cases}
x^2 + y^2 = a^2, \\
|y — x| = 3?
\end{cases}\)

1) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 2; \\ y = a — x \end{cases}\)

Из первого уравнения:
\(x^2 + y^2 = 2;\)
\(x^2 + (a — x)^2 = 2;\)
\(x^2 + a^2 — 2ax + x^2 = 2;\)
\(2x^2 — (2a)x + (a^2 — 2) = 0;\)
\(D = (2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 2) = 4a^2 — 8a^2 + 16 = 16 — 4a^2;\)
Уравнение имеет два решения, если \(D > 0\):
\(16 — 4a^2 > 0;\)
\(4 — a^2 > 0;\)
\(a^2 — 4 < 0;\) \((a + 2)(a - 2) < 0;\) \(-2 < a < 2;\) Ответ: два решения, если \(a \in (-2; 2);\) одно решение, если \(a = \pm 2;\) нет решений, если \(a \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty).\) 2) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2; \\ |y - x| = 3 \end{cases}\) Из второго уравнения: \(|y - x| = 3;\) \(y - x = \pm 3;\) \(y = x \pm 3;\) Из первого уравнения: \(x^2 + y^2 = a^2;\) \(x^2 + (x \pm 3)^2 = a^2;\) \(x^2 + x^2 \pm 6x + 9 = a^2;\) \(2x^2 \pm 6x + (9 - a^2) = 0;\) \(D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (9 - a^2) = 36 - 72 + 8a^2 = 8a^2 - 36;\) Уравнение имеет два решения, если \(D > 0\):
\(8a^2 — 36 > 0;\)
\(4a^2 — 18 > 0;\)
\(a^2 — \frac{18}{4} > 0;\)
\(\left(a + \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\left(a — \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) > 0;\)
\(a < -\frac{3\sqrt{2}}{2}\) или \(a > \frac{3\sqrt{2}}{2};\)
Ответ: четыре решения, если \(a \in (-\infty; -\frac{3\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{3\sqrt{2}}{2}; +\infty);\)
два решения, если \(a = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2};\)
нет решений, если \(a \in \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}; \frac{3\sqrt{2}}{2}\right).\)

1) Рассмотрим систему уравнений:
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 2; \\ y = a — x \end{cases}\)

Подставим выражение для \(y\) из второго уравнения в первое:
\(x^2 + (a — x)^2 = 2\)

Раскроем скобки:
\(x^2 + a^2 — 2ax + x^2 = 2\)

Сложим подобные:
\(2x^2 — 2ax + a^2 = 2\)

Перенесём всё в левую часть:
\(2x^2 — 2ax + (a^2 — 2) = 0\)

Это квадратное уравнение относительно \(x\). Найдём дискриминант \(D\):
\(D = (-2a)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (a^2 — 2) = 4a^2 — 8(a^2 — 2) = 4a^2 — 8a^2 + 16 = 16 — 4a^2\)

Уравнение имеет два решения, если \(D > 0\):
\(16 — 4a^2 > 0\)

Разделим на 4:
\(4 — a^2 > 0\)

Преобразуем:
\(a^2 < 4\) Раскладываем на множители: \((a + 2)(a - 2) < 0\) Из неравенства следует: \(-2 < a < 2\) Если \(D = 0\), то одно решение: \(16 - 4a^2 = 0 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2\) Если \(D < 0\), решений нет: \(a < -2\) или \(a > 2\)

Ответ:
два решения, если \(a \in (-2; 2)\);
одно решение, если \(a = \pm 2\);
нет решений, если \(a \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\).

2) Рассмотрим систему уравнений:
\(\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2; \\ |y — x| = 3 \end{cases}\)

Из второго уравнения:
\(|y — x| = 3 \Rightarrow y — x = \pm 3\)

Отсюда:
\(y = x \pm 3\)

Подставим в первое уравнение:
\(x^2 + (x \pm 3)^2 = a^2\)

Раскроем скобки:
\(x^2 + x^2 \pm 6x + 9 = a^2\)

Сложим подобные:
\(2x^2 \pm 6x + 9 = a^2\)

Перенесём \(a^2\) в левую часть:
\(2x^2 \pm 6x + (9 — a^2) = 0\)

Это квадратное уравнение относительно \(x\). Найдём дискриминант \(D\):
\(D = (\pm 6)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (9 — a^2) = 36 — 8(9 — a^2) = 36 — 72 + 8a^2 = 8a^2 — 36\)

Уравнение имеет два решения, если \(D > 0\):
\(8a^2 — 36 > 0\)

Разделим на 4:
\(4a^2 — 18 > 0\)

Разделим на 4 ещё раз:
\(a^2 — \frac{18}{4} > 0\)

Преобразуем:
\(a^2 — \frac{9}{2} > 0\)

Раскладываем на множители:
\(\left(a + \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\left(a — \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) > 0\)

Из неравенства следует:
\(a < -\frac{3\sqrt{2}}{2}\) или \(a > \frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Если \(D = 0\), то одно решение:
\(8a^2 — 36 = 0 \Rightarrow a^2 = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} \Rightarrow a = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Если \(D < 0\), решений нет: \(-\frac{3\sqrt{2}}{2} < a < \frac{3\sqrt{2}}{2}\) Ответ: четыре решения, если \(a \in (-\infty; -\frac{3\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{3\sqrt{2}}{2}; +\infty)\); два решения, если \(a = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}\); нет решений, если \(a \in \left(-\frac{3\sqrt{2}}{2}; \frac{3\sqrt{2}}{2}\right)\).