Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 137 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
От двух станций, расстояние между которыми равно 450 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 5 ч. Найдите скорость каждого поезда, если один из них потратил на путь между станциями на 2 ч 15 мин больше, чем другой.
Пусть скорости поездов \(x\) и \(y\) км/ч, тогда:
\(5x + 5y = 450 \Rightarrow x + y = 90\),
время первого поезда на весь путь \(\frac{450}{x}\), второго \(\frac{450}{y}\),
второй поезд потратил на 2 ч 15 мин (= \(\frac{9}{4}\) ч) больше:
\[
\frac{450}{y} — \frac{450}{x} = \frac{9}{4}
\]
Подставим \(y = 90 — x\):
\[
\frac{450}{90 — x} — \frac{450}{x} = \frac{9}{4}
\]
Умножим на \(4x(90 — x)\):
\[
4 \cdot 450 x — 4 \cdot 450 (90 — x) = 9 x (90 — x)
\]
\[
1800 x — 1800 (90 — x) = 9 x (90 — x)
\]
\[
1800 x — 162000 + 1800 x = 810 x — 9 x^2
\]
\[
3600 x — 162000 = 810 x — 9 x^2
\]
\[
-9 x^2 + 810 x — 3600 x + 162000 = 0
\]
\[
-9 x^2 — 2790 x + 162000 = 0
\]
Домножим на \(-1\):
\[
9 x^2 + 2790 x — 162000 = 0
\]
Разделим на 9:
\[
x^2 + 310 x — 18000 = 0
\]
Дискриминант:
\[
D = 310^2 + 4 \cdot 18000 = 96100 + 72000 = 168100
\]
Корни:
\[
x = \frac{-310 \pm 410}{2}
\]
\[
x_1 = \frac{-310 — 410}{2} = -360 \text{ (отрицательный, не подходит)}
\]
\[
x_2 = \frac{-310 + 410}{2} = 50
\]
Тогда
\[
y = 90 — 50 = 40
\]
Ответ: скорости поездов \(50\) км/ч и \(40\) км/ч.
1) Пусть \(x\) км/ч и \(y\) км/ч — скорости первого и второго поездов соответственно. Тогда за 5 часов первый поезд пройдет \(5x\) км, а второй — \(5y\) км. Из условия известно, что расстояние между станциями равно 450 км, значит:
\(5x + 5y = 450\)
Отсюда:
\(x + y = 90\)
2) Время, затраченное первым поездом на весь путь, равно \(\frac{450}{x}\) часов, вторым — \(\frac{450}{y}\) часов. По условию, второй поезд затратил на путь на 2 часа 15 минут (то есть \(\frac{9}{4}\) часа) больше, чем первый, значит:
\(\frac{450}{y} — \frac{450}{x} = \frac{9}{4}\)
3) Подставим \(y = 90 — x\) в уравнение времени:
\(\frac{450}{90 — x} — \frac{450}{x} = \frac{9}{4}\)
4) Умножим обе части уравнения на \(4x(90 — x)\), чтобы избавиться от знаменателей:
\(4 \cdot 450 x — 4 \cdot 450 (90 — x) = 9 x (90 — x)\)
5) Раскроем скобки:
\(1800 x — 1800 (90 — x) = 9 x (90 — x)\)
\(1800 x — 162000 + 1800 x = 810 x — 9 x^{2}\)
6) Приведем подобные члены:
\(3600 x — 162000 = 810 x — 9 x^{2}\)
7) Перенесем все в одну сторону:
\(-9 x^{2} + 810 x — 3600 x + 162000 = 0\)
\( -9 x^{2} — 2790 x + 162000 = 0\)
8) Домножим уравнение на \(-1\) для удобства:
\(9 x^{2} + 2790 x — 162000 = 0\)
9) Разделим на 9:
\(x^{2} + 310 x — 18000 = 0\)
10) Найдем дискриминант:
\(D = 310^{2} + 4 \cdot 18000 = 96100 + 72000 = 168100\)
11) Найдем корни уравнения:
\(x = \frac{-310 \pm 410}{2}\)
\(x_{1} = \frac{-310 — 410}{2} = -360\) (отрицательный, не подходит)
\(x_{2} = \frac{-310 + 410}{2} = 50\)
12) Скорость второго поезда:
\(y = 90 — 50 = 40\)
Ответ: скорости поездов \(50\) км/ч и \(40\) км/ч.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.