ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 138 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

От станции \(M\) на станцию \(N\), расстояние между которыми равно 240 км, отправились одновременно два поезда. Первый поезд прибыл на станцию \(N\) на 48 мин позже второго. Найдите скорость каждого поезда, если известно, что первый поезд за 2 ч проходит на 40 км больше, чем второй за 1 ч, и скорость каждого поезда не превышает 100 км/ч.

Пусть скорости первого и второго поездов равны \(x\) и \(y\) км/ч соответственно.

Из условия:
1) Первый поезд за 2 часа проходит на 40 км больше, чем второй за 1 час:
\(2x — y = 40\)

2) Первый поезд прибывает на станцию на 48 минут (то есть \(\frac{48}{60} = \frac{4}{5}\) часа) позже второго:
\(\frac{240}{x} — \frac{240}{y} = \frac{4}{5}\)

Из первого уравнения выразим \(y = 2x — 40\).

Подставим во второе:
\(\frac{240}{x} — \frac{240}{2x — 40} = \frac{4}{5}\).

Решая это уравнение, получаем квадратное:
\(x^2 — 170x + 6000 = 0\).

Дискриминант:
\(D = 170^2 — 4 \cdot 6000 = 4900\).

Корни:
\(x_1 = \frac{170 — 70}{2} = 50\),
\(x_2 = \frac{170 + 70}{2} = 120\).

Так как скорость не должна превышать 100 км/ч, выбираем \(x = 50\).

Тогда:
\(y = 2 \cdot 50 — 40 = 60\).

Ответ: скорости поездов \(50\) км/ч и \(60\) км/ч.

1) Пусть \(x\) км/ч и \(y\) км/ч — скорости первого и второго поездов соответственно. Тогда первый поезд за 2 часа пройдет \(2x\) км, а второй поезд за 1 час пройдет \(y\) км.

2) Из условия: первый поезд за 2 часа проходит на 40 км больше, чем второй за 1 час. Значит, составляем уравнение:
\(2x — y = 40\).

3) Время, затраченное первым поездом на весь путь в 240 км, равно \(\frac{240}{x}\) часов, а вторым поездом — \(\frac{240}{y}\) часов.

4) Первый поезд прибыл на станцию на 48 минут позже второго, то есть на \(\frac{48}{60} = \frac{4}{5}\) часа позже. Тогда:
\(\frac{240}{x} — \frac{240}{y} = \frac{4}{5}\).

5) Из уравнения (2) выразим \(y\):
\(y = 2x — 40\).

6) Подставим \(y\) в уравнение (4):
\(\frac{240}{x} — \frac{240}{2x — 40} = \frac{4}{5}\).

7) Домножим обе части на \(5x(2x — 40)\) для избавления от знаменателей:
\(5 \cdot 240 (2x — 40) — 5 \cdot 240 x = 4 x (2x — 40)\).

8) Раскроем скобки:
\(1200 (2x — 40) — 1200 x = 4 x (2x — 40)\).

9) Упростим левую часть:
\(2400 x — 48000 — 1200 x = 8 x^2 — 160 x\).

10) Приведем подобные члены:
\(1200 x — 48000 = 8 x^2 — 160 x\).

11) Перенесем все в левую часть:
\(0 = 8 x^2 — 160 x — 1200 x + 48000\),
\(0 = 8 x^2 — 1360 x + 48000\).

12) Разделим уравнение на 8:
\(x^2 — 170 x + 6000 = 0\).

13) Найдем дискриминант:
\(D = (-170)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6000 = 28900 — 24000 = 4900\).

14) Найдем корни:
\(x_1 = \frac{170 — 70}{2} = 50\),
\(x_2 = \frac{170 + 70}{2} = 120\).

15) Скорость не должна превышать 100 км/ч, значит \(x = 50\) км/ч.

16) Найдем \(y\):
\(y = 2 \cdot 50 — 40 = 100 — 40 = 60\) км/ч.

Ответ: 50 км/ч; 60 км/ч.