ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 140 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Из двух сёл \(A\) и \(B\), расстояние между которыми равно 54 км, выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились в селе \(C\), расстояние от которого до \(A\) составляет \(\frac{1}{3}\) расстояния между \(A\) и \(B\), причём первый велосипедист выехал из \(B\) на 54 мин раньше, чем второй велосипедист выехал из \(A\). Если бы велосипедисты выехали одновременно, то они встретились бы через 2 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Пусть скорости велосипедистов \(x\) км/ч и \(y\) км/ч. Расстояние между сёлами \(54\) км.

Первый велосипедист проезжает \(\frac{2}{3}\) пути за \(\frac{36}{x}\) ч, второй — \(\frac{1}{3}\) пути за \(\frac{18}{y}\) ч.

Если они выедут одновременно, встретятся через 2 ч в середине пути, значит:

\[
x + y = 27
\]

Первый выехал на 54 мин (то есть \(\frac{54}{60} = \frac{9}{10}\) ч) раньше, и в момент встречи:

\[
\frac{36}{x} — \frac{18}{y} = \frac{9}{10}
\]

Решая систему:

\[
\begin{cases}
x + y = 27 \\
\frac{36}{x} — \frac{18}{y} = \frac{9}{10}
\end{cases}
\]

Подставляем \(y = 27 — x\) и приводим к уравнению:

\[
x^2 + 33x — 540 = 0
\]

Дискриминант \(D = 3249\), корни:

\[
x_1 = -45, \quad x_2 = 12
\]

Отрицательная скорость не подходит, значит:

\[
x = 12, \quad y = 15
\]

Ответ: скорости велосипедистов \(12\) км/ч и \(15\) км/ч.

1) Пусть \(x\) км/ч и \(y\) км/ч — скорости первого и второго велосипедистов соответственно. Расстояние между сёлами равно 54 км.

Время, которое тратит первый велосипедист на две трети пути, равно \(\frac{36}{x}\) часов, а время второго на треть пути — \(\frac{18}{y}\) часов.

Общее расстояние, которое они проезжают вместе за 2 часа, равно \(2(x + y)\) км. Из условия: \(2(x + y) = 54\), значит \(x + y = 27\).

2) Первый велосипедист выехал на 54 минуты (то есть \(\frac{54}{60} = \frac{9}{10}\) часа) раньше второго, и они встретились в пункте \(C\). Если бы они выехали одновременно, то встретились бы через 2 часа в середине пути.

Это даёт уравнение:

\[
\frac{36}{x} — \frac{18}{y} = \frac{9}{10}
\]

3) Составляем систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{36}{x} — \frac{18}{y} = \frac{9}{10} \\
x + y = 27
\end{cases}
\]

4) Выразим \(y\) из второго уравнения: \(y = 27 — x\).

Подставим в первое уравнение:

\[
\frac{36}{x} — \frac{18}{27 — x} = \frac{9}{10}
\]

5) Умножим обе части уравнения на \(10x(27 — x)\):

\[
10(27 — x) \cdot 36 — 10x \cdot 18 = 9x(27 — x)
\]

Раскроем скобки:

\[
360(27 — x) — 180x = 9x(27 — x)
\]

6) Упростим:

\[
9720 — 360x — 180x = 243x — 9x^2
\]

\[
9720 — 540x = 243x — 9x^2
\]

7) Переносим все в одну сторону:

\[
9720 — 540x — 243x + 9x^2 = 0
\]

\[
9x^2 — 783x + 9720 = 0
\]

8) Делим уравнение на 9:

\[
x^2 — 87x + 1080 = 0
\]

9) Находим дискриминант:

\[
D = (-87)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1080 = 7569 — 4320 = 3249
\]

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{87 — \sqrt{3249}}{2} = \frac{87 — 57}{2} = 15
\]

\[
x_2 = \frac{87 + \sqrt{3249}}{2} = \frac{87 + 57}{2} = 72
\]

10) Скорость второго велосипедиста \(y = 27 — x\):

Если \(x = 15\), то \(y = 12\); если \(x = 72\), то \(y = -45\) (отрицательная скорость невозможна).

Ответ: \(12\) км/ч и \(15\) км/ч.