ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 141 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Два экскаватора, работая одновременно, могут вырыть котлован за 6 ч 40 мин. Если же сначала первый экскаватор выроет самостоятельно \(\frac{4}{5}\) котлована, а затем второй — оставшуюся часть котлована, то вся работа будет выполнена за 12 ч. За сколько часов может вырыть котлован каждый экскаватор, работая отдельно?

Пусть \(x\) и \(y\) — время, за которое первый и второй экскаваторы выроют котлован поодиночке.

Производительность первого: \(\frac{1}{x}\), второго: \(\frac{1}{y}\).

Вместе они выроют котлован за \(6\) ч \(40\) мин = \(\frac{20}{3}\) ч, значит:
\[
\frac{20}{3}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1
\]

Если первый выроет \(\frac{4}{5}\) котлована, а второй оставшуюся часть, то:
\[
\frac{4}{5}x + \frac{1}{y} \cdot t = 1, \quad \text{где } t = 12 — \frac{4}{5}x
\]

Решая систему:
\[
\begin{cases}
4x + y = 60 \\
x = 10 \\
y = 20
\end{cases}
\]

Ответ: первый экскаватор — 10 часов, второй — 20 часов.

1. Пусть \(x\) часов и \(y\) часов — время, за которое первый и второй экскаваторы соответственно могут выполнить работу, работая по одному. Тогда производительность первого экскаватора равна \(\frac{1}{x}\), второго — \(\frac{1}{y}\).

2. Вместе экскаваторы выроют котлован за 6 часов 40 минут, то есть за \(\frac{20}{3}\) часов. Значит, совместная производительность равна \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\), и за \(\frac{20}{3}\) часов они выполняют всю работу:
\(\frac{20}{3}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1\).

3. Если первый экскаватор выроет \(\frac{4}{5}\) котлована, а затем второй закончит работу, то вся работа займет 12 часов. Значит, время, за которое первый экскаватор выроет \(\frac{4}{5}\) котлована, равно \(\frac{4}{5}x\), а оставшуюся часть работы выполнит второй за \(12 — \frac{4}{5}x\) часов. Тогда:
\(\frac{4}{5} + \frac{1}{y}\left(12 — \frac{4}{5}x\right) = 1\).

4. Перепишем уравнения:
\[
\frac{20}{3}\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1,
\quad \frac{4}{5} + \frac{1}{y}\left(12 — \frac{4}{5}x\right) = 1.
\]

5. Из первого уравнения:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{20}\).

6. Из второго уравнения:
\(\frac{1}{y}\left(12 — \frac{4}{5}x\right) = 1 — \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\),
откуда
\[
\frac{12 — \frac{4}{5}x}{y} = \frac{1}{5}.
\]

7. Умножим обе части на \(y\):
\[
12 — \frac{4}{5}x = \frac{y}{5}.
\]

8. Умножим на 5:
\[
60 — 4x = y.
\]

9. Подставим \(y = 60 — 4x\) в уравнение из пункта 5:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{60 — 4x} = \frac{3}{20}.
\]

10. Умножим обе части на \(20x(60 — 4x)\):
\[
20(60 — 4x) + 20x = 3x(60 — 4x).
\]

11. Раскроем скобки:
\[
1200 — 80x + 20x = 180x — 12x^2.
\]

12. Приведём подобные члены:
\[
1200 — 60x = 180x — 12x^2.
\]

13. Перенесём все в одну сторону:
\[
12x^2 — 240x + 1200 = 0.
\]

14. Разделим на 12:
\[
x^2 — 20x + 100 = 0.
\]

15. Решим квадратное уравнение:
\[
(x — 10)^2 = 0,
\]
откуда \(x = 10\).

16. Найдём \(y\):
\[
y = 60 — 4 \cdot 10 = 60 — 40 = 20.
\]

Ответ: 10 часов; 20 часов.