ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 142 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Если одновременно открыть две трубы, через первую из которых в бассейн будет наливаться вода, а через вторую выливаться, то бассейн наполнится за 36 ч. Если 6 ч наполнять бассейн через первую трубу, а затем открыть вторую трубу, через которую вода выливается, то бассейн наполнится через 18 ч после открытия второй трубы. За сколько часов через первую трубу можно наполнить бассейн? За сколько часов через вторую трубу выльется вся вода из бассейна? каждый экскаватор, работая отдельно?

Пусть \(x\) — время наполнения первой трубы, \(y\) — время опустошения второй. Вместе они работают с производительностью \(\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{1}{36}\). За 6 часов первая труба наполняет \(\frac{6}{x}\), а за следующие 18 часов вместе — \(18 \left(\frac{1}{x} — \frac{1}{y}\right)\). Сумма равна 1: \(\frac{6}{x} + 18 \cdot \frac{1}{36} = 1\). Отсюда \(x = 12\). Подставляя в первое уравнение, получаем \(y = 18\).

Ответ: \(12\) часов; \(18\) часов.

1) Пусть \(x\) часов — время, за которое первая труба может наполнить бассейн, а \(y\) часов — время, за которое вторая труба опустошит бассейн. Тогда производительность первой трубы равна \(\frac{1}{x}\), а второй — \(\frac{1}{y}\).

2) Из условия известно, что вместе обе трубы наполняют бассейн за 36 часов. Значит, их совместная производительность равна \(\frac{1}{36}\), то есть
\(\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{1}{36}\).

3) Также известно, что первые 6 часов работала только первая труба, а затем открыли вторую трубу, и бассейн был наполнен ещё через 18 часов. Значит, за первые 6 часов заполнено \(\frac{6}{x}\) бассейна, а за следующие 18 часов вместе трубы заполняют \(\frac{18}{x} — \frac{18}{y}\). В сумме это даёт полный бассейн:
\(\frac{6}{x} + 18\left(\frac{1}{x} — \frac{1}{y}\right) = 1\).

4) Подставим из первого уравнения \(\frac{1}{x} — \frac{1}{y} = \frac{1}{36}\) во второе:
\(\frac{6}{x} + 18 \cdot \frac{1}{36} = 1\).

5) Упростим:
\(\frac{6}{x} + \frac{18}{36} = 1\) тогда \(\frac{6}{x} + \frac{1}{2} = 1\).

6) Выразим \(\frac{6}{x}\):
\(\frac{6}{x} = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).

7) Найдём \(x\):
\(x = 6 \cdot 2 = 12\).

8) Подставим найденное значение \(x=12\) в первое уравнение:
\(\frac{1}{12} — \frac{1}{y} = \frac{1}{36}\).

9) Найдём \(\frac{1}{y}\):
\(\frac{1}{y} = \frac{1}{12} — \frac{1}{36} = \frac{3}{36} — \frac{1}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}\).

10) Следовательно,
\(y = 18\).

Ответ: \(12\) часов; \(18\) часов.