ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 3 Номер 144 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

От станций \(C\) и \(D\), расстояние между которыми равно 270 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда. Первый поезд прибыл на станцию \(D\) через 2 ч 24 мин после встречи, а второй на станцию \(C\) — через 8 ч 45 мин после встречи. Найдите, с какой скоростью двигался каждый поезд и через какое время после начала движения состоялась их встреча.

Пусть скорости поездов \(x\) км/ч и \(y\) км/ч, время встречи \(t\) часов.

Из условия:
\(tx + ty = 270\),

после встречи первый поезд прошёл \(2 + \frac{24}{60} = \frac{12}{5}\) часов, значит \( \frac{12}{5}x = ty\),

второй поезд прошёл после встречи \(8 + \frac{45}{60} = \frac{45}{6} = \frac{15}{2}\) часов, значит \( \frac{15}{4}y = tx\).

Из системы:

1) \(tx + ty = 270\),
2) \( \frac{12}{5} x = ty\),
3) \( \frac{15}{4} y = tx\).

Подставим из (2) и (3) в (1):

\(tx + \frac{12}{5} x = 270\),
\(tx + \frac{12}{5} x = 270\).

Из (3) \(tx = \frac{15}{4} y\), подставим в (1):

\(\frac{15}{4} y + ty = 270\).

Решая систему, получаем:

\(x = 50\) км/ч, \(y = 40\) км/ч, \(t = 3\) часа.

1) Пусть \(x\) км/ч и \(y\) км/ч — скорости первого и второго поездов, а \(t\) — время до встречи. Тогда первый поезд прошёл до встречи \(tx\) км, второй — \(ty\) км. Расстояние между станциями равно 270 км, значит:
\(tx + ty = 270\).

После встречи первый поезд прошёл \(2 + \frac{24}{60} = \frac{12}{5}\) часов, следовательно, он прошёл
\(\frac{12}{5} x\) км, что равно расстоянию, пройденному вторым поездом до встречи, то есть \(ty\):
\(\frac{12}{5} x = ty\).

Второй поезд после встречи прошёл \(8 + \frac{45}{60} = \frac{45}{6} = \frac{15}{4}\) часов, следовательно, он прошёл
\(\frac{15}{4} y\) км, что равно расстоянию, пройденному первым поездом до встречи, то есть \(tx\):
\(\frac{15}{4} y = tx\).

2) Разделим третье уравнение на второе:
\(\frac{\frac{15}{4} y}{\frac{12}{5} x} = \frac{tx}{ty} = \frac{x t}{y t} = \frac{x}{y}\).

Подставим:
\(\frac{15}{4} y \cdot \frac{5}{12 x} = \frac{x}{y}\),
\(\frac{75}{48} \cdot \frac{y}{x} = \frac{x}{y}\),
\(\frac{25}{16} \cdot \frac{y}{x} = \frac{x}{y}\).

Умножим обе части на \(x y\):
\(\frac{25}{16} y^{2} = x^{2}\),
\(\frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{25}{16}\),
\(\frac{x}{y} = \frac{5}{4}\).

Отсюда:
\(x = \frac{5}{4} y\).

3) Подставим \(x = \frac{5}{4} y\) в первое уравнение:
\(t x + t y = 270\),
\(t \frac{5}{4} y + t y = 270\),
\(t y \left(\frac{5}{4} + 1\right) = 270\),
\(t y \cdot \frac{9}{4} = 270\),
\(t y = \frac{270 \cdot 4}{9} = 120\).

Подставим это в уравнение \(\frac{12}{5} x = t y\):
\(\frac{12}{5} x = 120\),
\(\frac{12}{5} \cdot \frac{5}{4} y = 120\),
\(\frac{12}{4} y = 120\),
\(3 y = 120\),
\(y = 40\).

Тогда
\(x = \frac{5}{4} \cdot 40 = 50\).

4) Найдём \(t\) из \(t y = 120\):
\(t = \frac{120}{40} = 3\).

Ответ: \(40\) км/ч; \(50\) км/ч; \(3\) часа.